Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

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Enunciado

Um mol de um gás ideal ocupa um volume V 1 sob uma pressão P 1 . A partir desse estado, ele é submetido aos seguintes processos reversíveis: ( 1 → 2 ) um aquecimento isovolumétrico até a sua pressão quintuplicar; depois ( 2 → 3 ) uma expansão isotérmica até a pressão original e, finalmente, ( 3 → 1 ) uma transformação isobárica voltando ao estado inicial. Sabe-se que para esse gás a capacidade térmica molar a volume constante é C V = ( 5 / 2 ) R onde R é a constante universal dos gases ideais.

  1. Desenhe o ciclo do gás no diagrama P × V , indicando os valores de P e V nos estados 1, 2 e 3.
  2. Identifique em quais etapas o gás RECEBE calor e determine o valor total do calor recebido Q r e c pelo gás.
  3. Identifique em quais etapas o gás CEDE calor e determine o valor total do calor cedido Q c e d pelo gás.
  4. Determine o trabalho total W T realizado pelo gás durante um ciclo.
  5. Esse gás é monoatômico ou diatômico? Justifique!

Passo 1

a) O desenho vai facilitar bastante a nossa visualização do processo, então vamos lá!

Primeiramente vamos anotar cada trecho do ciclo, para depois projetarmos no gráfico:

( 1 → 2 ) Um aquecimento isovolumétrico até a sua pressão quintuplicar.

P 1 n R T 1 = P 2 n R T 2

T 2 = P 2 T 1 P 1 ,

como P 2 = 5 P 1 , temos:

T 2 = 5 T 1

( 2 → 3 ) Uma expansão isotérmica até a pressão original.

P 2 V 2 n R T 2 = P 3 V 3 n R T 3

5 P 1 V 1 n R = P 1 V 3 n R

V 3 = 5 V 1

( 3 → 1 ) Uma transformação isobárica voltando ao estado inicial.

Passo 2

b) Vamos utilizar o próprio gráfico que nós construímos para responder está questão. Nele é possível a gente observar que a única etapa em que o gás cede calor ao ambiente é na etapa 3 → 1 , onde a temperatura do gás diminui. Portanto, vamos calcular a quantidade de calor que é recebida pelo gás nas etapas 1 → 2 e 2 → 3 :

W 12 = 0

Q 12 = ∆ U 12

Q 12 = n C V T 2 - T 1 = 5 2 R 5 P 1 V 1 R - P 1 V 1 R = 5 2 4 P 1 V 1 = 10 P 1 V 1

∆ U 23 = 0

Q 23 = W 23 = n R T 2 ln ⁡ V 3 V 2 = R 5 P 1 V 1 R l n 5 = 5 P 1 V 1 l n 5

Vamos agora somar o calor recebido total nesses dois trechos:

Q 12 + Q 23 = 10 P 1 V 1 + 5 P 1 V 1 l n 5 = P 1 V 1 ( 10 + 5 l n 5 )

Passo 3

c) Bom, nos restou agora calcular a quantidade de calor que o gás cede para o ambiente e, como já observamos no gráfico, esse calor corresponde ao trecho 3 → 1 .

Q 31 = n C p T 1 - T 3 = 5 2 R + R   P 1 V 1 R - 5 P 1 V 1 R

Q 31 = 7 R 2 × - 4 P 1 V 1 R

Q 31 = - 14 P 1 V 1

Passo 4

d) Galera, nós sabemos que a variação da Energia interna é uma função de estado. Certo? Isso quer dizer que que depende só do estado final e inicial do processo. Logo, podemos afirmar que ∆ U = 0 . Portanto:

Q t o t a l = W t o t a l

W t o t a l = P 1 V 1 ( 5 l n 5 - 4 )

Passo 5

e) Pelo teorema da equipartição da energia, cada grau de liberdade no movimento do átomo acrescenta 1 2 R   ao valor de C V . Para um gás monoatômico temos três graus de liberdade, C V = 3 2 R . Portanto o gás com C V = 5 2 R   é diatômico. Para um gás diatômico temos de três a sete graus de liberdade, mas devido a efeitos quânticos nem todos estão disponíveis. As temperaturas “usuais” temos três graus de translação e dois de rotação, totalizando cinco graus de liberdade ativos: C V = 5 2 R .

Resposta

a)

b) 1 → 2 e 2 → 3 ; Q 12 + Q 23 = P 1 V 1 ( 10 + 5 l n 5 )

c) 3 → 1 ; Q 31 = - 14 P 1 V 1

d) W t o t a l = P 1 V 1 ( 5 l n 5 - 4 )

e) C V = 5 2 R ,   é diatômico.

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