Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

Primeira Lei e Gases

Um mol de um gás monoatômico ideal realiza o ciclo mostrado na figura. O processo B → A é uma contração isotérmica reversível. São conhecidos P C e V C e sabe-se que P C = 5 P B e V C = 5 V A . Suponha conhecidas as relações entre C P , C V , R e o número de graus de liberdade do gás. Calcule, com justificativas, em função apenas de P C e V C :(Observação: Não é necessário calcular valores numéricos para logaritmos.)

  1. O trabalho líquido feito sobre o gás no ciclo, deduzindo as expressões utilizadas.
  2. O calor transferido em cada etapa, deixando claro se este foi absorvido pelo gás ou cedido por ele.
  3. O rendimento do ciclo.

Passo 1

a):

Vamos calcular o trabalho de cada trecho.

Maaas pera ai, existe uma coisa importante aqui: Ele tá dizendo que é pra calcular o trabalho realizado sobre o gás, e não pelo gás. Assim, vamos calcular as quantidades e multiplicar por - 1 :

W = - ∫ ( P d V )

Primeiro:

A → C :

Bom, essa é uma transformação isobárica, então, o trabalho é calculado por:

W A C = - P ∆ V = - P V f - V i

Bom, P a = P c

E P c e V c são conhecidos. Além disso:

V c = 5 V A → V A = V C 5

Então:

W A C = - P C V c - V c 5 = - P c V c 4 5

C → B :

Bom, a variação de volume nesse caso é nula. Então o trabalho é zero:

W C B = 0

B → A :

Bom, nesse caso, o trabalho é o trabalho de uma transformação isotérmica.

Assim:

W B A = ∫ P d V

Usando:

P V = n R T → P = n R T V

Assim:

W B A = - ∫ n R T V d V = - n R T l n V f V i

Como o volume final é V A e o inicial é V c , além de que:

V c = 5 V A

Então:

W B A = - ∫ n R T V d V = - n R T l n V f V i = - n R T l n 1 5 = n R T l n 5

Quem é T ? Bom, é só calcular a temperatura de A em função de P c e V c :

P A V A = n R T A → T A = P A V A n R

Bom, P A = P C e V A = V C 5 :

T A = 1 5 . P c V C n R

Então:

W B A = 1 5 n R . P c V c n R ln ⁡ 5 = 1 5 P c V c ln ⁡ 5

Então, o trabalho total é a soma de todos os trabalhos:

W c i c l o = - P c V c . 4 5 + 1 5 P c V c ln ⁡ 5 = 1 5 P c V c l n ⁡ ( 5 - 4 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Vamos lá:

O processo B A é isotérmico, logo:

∆ U = 0

E:

∆ U = Q - W = 0 → Q B A = W B A = - 1 5 P c V c ln ⁡ 5

Ué, mas por que eu coloquei um sinal negativo ali? Bem, é que agora estamos analisando o calor recebido pelo gás, então, o trabalho que aparece ali encima é o trabalho realizado pelo gás, que é igual ao trabalho realizado sobre o gás vezes - 1 .

E como é negativo, esse calor foi rejeitado pelo gás pro ambiente.

A → C :

Esse calor é trocado à pressão constante, então vamos usar:

Q A C = n C p ∆ T = n C p T c - T A

Vamos usar o piviti-povóto pra escrever T A em função de T C :

P A V A T A = P C V C T C → T A = T C . P A V A P C V C = T C . P A V A 5 P A V A = T C 5

Então:

Q A C = n C p T c - T C 5 = n C p T C . 4 5 = C p T C . 4 5

E como:

T C = P C V C n R = P C V C R

Então:

Q A C = P C V C . C p R 4 5

Já que n = 1 .

Como é positivo, o calor é absorvido pelo gás.

Usando, pra um gás monoatômica:

C P = 5 2 R

Então:

Q A C = P C V C . 5 R 2 . 1 R 4 5 = 2 P C V C

C → B :

Nesse caso, o volume é constante, então usamos C V :

Q C B = n C V ∆ T = n C V T B - T C

Vamos usar Piviti-Povoto pra achar a relação entre T B e T C :

P B V B T B = P C V C T C

T B = T C . P B V B P C V C

Como P C = 5 P B :

T B = T C . P B V B 5 P B V B = T C 5

Então:

Q C B = n C V T C 5 - T C = - 4 5 C V T C

Usando:

C V = 3 R 2

Então:

Q C B = - 4 5 . 3 R 2 T C = - 6 5 R T C

Usando de novo aquela parada:

T C = P C V C n R = P C V C R

Então:

Q C B = - 6 5 R . P C V C R = - 6 5 P C V C

E como é negativo, é calor perdido pelo gás.

Passo 3

c):

O rendimento é calculado assim galera:

ε = W ciclo Q Q

A gente já calculo o trabalho do ciclo, certo?

O calor Q Q é o calor quente, ou seja, o calor fornecido pela fonte quente. Isso é, o calor que entra no sistema, logo:

Q Q = Q A C = 2 P C V C

E:

W c i c l o =   1 5 P c V c   4 - ln ⁡ 5

Então:

ε = W ciclo Q Q =   1 5 P c V c ( 4 - ln ⁡ 5 ) . 1 2 P C V C = 4 - ln ⁡ 5 . 1 10

ε = 4 - ln ⁡ 5 . 1 10

Resposta

a):

W c i c l o = 1 5 P c V c l n ⁡ ( 5 - 4 )

b):

Q B A = - 1 5 P c V c ln ⁡ 5

Q A C = 2 P C V C

Q C B = - 6 5 P C V C

c):

ε = 4 - ln ⁡ 5 . 1 10

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