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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a forma quadrática:

F v = v T - 3 1 1 - 3 v

Pode-se afirmar que:

(a) F v < 0 para todo v ≠ 0

(b) Existem u, v tais que F u < 0 e F v > 0

(c) F v > 0 para todo v ≠ 0

(d) F v 1 + v 2 = F v 1 + F v 2

Passo 1

Vamos passar essa forma quadrática da forma matricial para uma equação cartesiana.

Para isso, substituímos v por x , y . Vamos ficar com:

F x , y = x y - 3 1 1 - 3 x y

F x , y = - 3 x + y x - 3 y x y

F x , y = - 3 x 2 + x y + x y - 3 y 2

F x , y = - 3 x 2 + 2 x y - 3 y 2

F x , y = - [ 3 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 4 x y ]

F x , y = - [ 3 x - 3 y 2 + 4 x y ]  

F x , y = - 3 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 4 x y  

F x , y = - 3 x 2 - 2 x y + 3 y 2  

Como 3 x 2 - 2 x y + 3 y 2 > 0 para quaisquer valores de x e y diferentes de 0, com o sinal negativo da expressão, vamos ter que F x , y < 0 para todo x e y diferentes de 0, ou seja, F v < 0 para todo v ≠ 0 .

Resposta

(a) F v < 0 para todo v ≠ 0

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