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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Identifique a quádrica Ω : 200 x 2 - 25 y 2 + 4 z 2 + 200 y = 0 e esboce a intersecção de Ω com o plano π : z + 10 = 0 , determinando o centro e os focos da cônica Ω ∩ π .

Passo 1

Vendo a equação dessa quádrica, a gente já repara que ela ta trasladada certo? Então vamos completar quadrados em y :

200 x 2 - 25 y 2 + 200 y - 400 + 4 z 2 = - 400

Podemos escrever isso assim:

200 x 2 - 25 ( y 2 - 8 y + 16 ) + 4 z 2 = - 400

Isso é a mesma coisa que

200 x 2 - 25 ( y - 4 ) ² + 4 z 2 = - 400

Dividindo tudo por - 400 e simplificando:

- x 2 2 + y - 4 2 16 - z 2 100 = 1

Ebaaa, achamos a nossa quádrica Ω , e ela é um hiperboloide de duas folhas, pois temos dois sinais negativos :P

Passo 2

Agora vamos encontrar a intersecção de Ω com o plano π .

Sabemos que o plano π também pode ser escrito como z = - 10 , então vamos pegar a equação de Ω e substituir z por - 10 :

- x 2 2 + y - 4 2 16 - z 2 100 = 1

- x 2 2 + y - 4 2 16 - ( - 10 ) 2 100 = 1

- x 2 2 + y - 4 2 16 - 100 100 = 1

- x 2 2 + y - 4 2 16 - 1 = 1

- x 2 2 + y - 4 2 16 = 2

Dividindo tudo por 2 :

Ω ∩ π :   - x 2 4 + y - 4 2 32 = 1

A cônica Ω ∩ π é uma hipérbole com centro em C = ( 0 ,   4 ,   - 10 ) (lembrando que ela está no plano z = - 10 ) e ao longo do eixo y , que está positivo na equação.

Os parâmetros geométricos dessa hipérbole são

a 2 = 32

b 2 = 4

c 2 = a 2 + b 2 = 36 → c = 6

Os focos dessa hipérbole serão

F 1 = 0 ,   4 + c ,   - 10 = ( 0 ,   10 ,   - 10 )

F 2 = 0 ,   4 - c ,   - 10 = ( 0 ,   - 2 ,   - 10 )

Abaixo temos o desenho da quádrica Ω e o plano π .

Abaixo temos o esboço da hipérbole formada pela intersecção dos dois

Resposta

Ω :   - x 2 2 + y - 4 2 16 - z 2 100 = 1 (hiperboloide de duas folhas)

Ω ∩ π :   - x 2 4 + y - 4 2 32 = 1 (hipérbole)

F 1 = ( 0 ,   10 ,   - 10 )

F 2 = ( 0 ,   - 2 ,   - 10 )

C = ( 0 ,   4 ,   - 10 )

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