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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a quádrica

Ω :   - x 2 + 2 y 2 + z 2 - 4 y + 4 z = 0

Identifique a quádrica Ω e também, em cada caso, a intersecção de Ω com π : especificando, se houver, o centro e a reta que contém os focos da cônica resultante desta interseção.

a) π : y = 2

b) π : z = 6 - 2

Passo 1

Antes de tudo, vamos escrever a equação reduzida da quádrica Ω e identificar qual quádrica é essa

- x 2 + 2 y 2 + z 2 - 4 y + 4 z = 0

Completando quadrados em y e em z :

- x 2 + 2 y 2 - 2 y + 1 - 2 + z 2 + 4 z + 4 - 4 = 0

- x 2 + 2 y - 1 ² + z + 2 ² = 6

Dividindo tudo por 6 :

- x 2 6 + 2 y - 1 2 6 + z + 2 2 6 = 1

Também podemos escrever como:

- x 2 6 + y - 1 2 3 + z + 2 2 6 = 1

Beleza, já temos a equação reduzida da nossa quádrica Ω , e ela é um hiperboloide de 1 folha ao longo do eixo x .

Agora vamos pras intersecções ;)

Passo 2

a) π : y = 2

Para encontrarmos a intersecção da quádrica com esse plano, temos que substituir y = 2 na equação de Ω :

- x 2 6 + 2 - 1 2 3 + z + 2 2 6 = 1

- x 2 6 + 1 3 + z + 2 2 6 = 1

- x 2 6 + z + 2 2 6 = 2 3

Dividindo tudo por 2 3 :

- 3 x 2 12 + 3 z + 2 2 12 = 1

- x 2 4 + z + 2 2 4 = 1

Opa, isso é a equação de uma hipérbole com centro C = ( 0 ,   2 ,   - 2 ) .

Seus focos estão em uma reta paralela ao eixo z , além disso essa reta também passa pelo centro. Logo, a reta que contém seus focos é

r : X = 0 ,   2 ,   - 2 + λ ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 3

b) π : z = 6 - 2

Agora vamos substituir z = 6 - 2 na equação da quádrica:

- x 2 6 + y - 1 2 3 + 6 - 2   + 2 2 6 = 1

- x 2 6 + y - 1 2 3 + 6 6 = 1

- x 2 6 + y - 1 2 3 = 0

C = ( 0 ,   1 ,   6 - 2   )

Opa, isso é uma cônica degenerada que forma duas retas concorrentes. Então não temos focos pra analisar :)

Resposta

Ω :   - x 2 6 + y - 1 2 3 + z + 2 2 6 = 1 (hiperboloide de uma folha)

a) - x 2 4 + z + 2 2 4 = 1

Hipérbole com centro C = ( 0 ,   2 ,   - 2 ) .

r : X = 0 ,   2 ,   - 2 + λ ( 0 ,   0 ,   1 )

b) - x 2 6 + y - 1 2 3 = 0

C = ( 0 ,   1 ,   6 - 2   )

Cônica degenerada que forma duas retas concorrentes.

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