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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a quádrica de equação

4 x 2 - m y 2 + n z 2 - 16 = 0

onde m , n são números reais.

a) Para m = 0 e n = 1 , identifique a quádrica e esboce o gráfico.

b) Para m = n = 1 , identifique a curva obtida pela intersecção da quádrica com o plano z = 12 e determine seu(s) foco(s).

Passo 1

a) Se m = 0 e n = 1 , vamos ter a seguinte equação

4 x 2 + z 2 - 16 = 0

Arrumando essa equação e dividindo tudo por 16 vamos ter:

x 2 4 + z 2 16 = 1

Lá na teoria a gente viu que isso aí é a equação de um cilindro elíptico lembra? Sendo que nesse caso, a = 2 e c = 4 .

Então, o gráfico vai ser assim:

Passo 2

b) Quando m = n = 1 , nossa equação vai ser

4 x 2 - y 2 + z 2 - 16 = 0

Pra gente achar a intersecção dessa quádrica com o plano z = 12 , vamos resolver o sisteminha:

4 x 2 - y 2 + z 2 - 16 = 0 z = 12

Substituindo z = 12 na equação de cima:

4 x 2 - y 2 + ( 12 ) 2 - 16 = 0

Então, a intersecção vai ser dada por

4 x 2 - y 2 = 4

Deixando a equação mais ajeitadinha teremos:

x 2 - y 2 4 = 1

Essa é a equação de uma hipérbole, que como não possui variável z mas pertence à intersecção com o plano z = 12 , ela está CONTIDA nesse plano.

Nessa equação, temos a = 1 , b = 2 e c 2 = 1 + 4 = 5 → c = 5 .

Os focos dessa hipérbole vão ser F 1 = ( - c ,   0 ,   z ) e F 2 = ( c ,   0 ,   z ) , então:

F 1 = ( - 5 ,   0 ,   12 )

F 2 = ( 5 ,   0 ,   12 )

Resposta

a) x 2 4 + z 2 16 = 1

b) Hipérbole com focos:

F 1 = ( - 5 ,   0 ,   12 )

F 2 = ( 5 ,   0 ,   12 )

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