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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a seguinte quádrica

Ω : x 2 - y 2 + 2 y - 2 z = 1

  1. Determine uma equação reduzida e identifique a quádrica Ω .
  2. Determine uma equação reduzida e identifique a curva de corte Τ = Ω ⋂ π , onde π : y = 3 , indicando seus vértices, se houverem.
  3. Determine uma equação reduzida e identifique a curva de corte Τ = Ω ⋂ π , onde π : z = 0 , indicando seus vértices, se houverem.

Passo 1

  1. Pra identificar a quádrica a gente tem que completar os quadrados.
  2. x 2 - y 2 + 2 y - 2 z = 1

    x 2 - y 2 + 2 y - 1 - 2 z = 0

    x 2 - y - 1 2 = 2 z

    z = x 2 2 - y - 1 2 2

    Esse é um paraboloide hiperbólico.

    Passo 2

  3. Se o plano π é dado por y = 3 :
  4. z = x 2 2 - 3 - 1 2 2

    z = x 2 2 - 2

    z - ( - 2 ) = x - 0 2 2

    Essa é uma parábola de vértice:

    V = ( 0 ,   3 ,   - 2 )

    Passo 3

  5. Se o plano π é dado por z = 0 :

0 = x 2 2 - y - 1 2 2

x 2 = y - 1 2

x = ± y - 1 :   y = x + 1 y = - x + 1

Esse é uma par de retas!

Resposta

  1. z = x 2 2 - y - 1 2 2 : paraboloide hiperbólico.
  2. z = x 2 2 - 2 , V = ( 0 ,   3 ,   - 2 ) .
  3. x 2 = y - 1 2 : par de retas concorrentes.

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