Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a quádrica Ω

4 x 2 + y 2 = 1 + z ²

a) Identifique e esboce Ω .

b) Determine todos os 6 planos paralelos a algum plano coordenado que intersectam Ω em uma cônica com distância focal 120 .

Passo 1

a) Podemos escrever nossa equação assim:

4 x 2 + y 2 - z ² = 1

Isso é a mesma coisa que

x 2 1 4 + y 2 - z ² = 1

Boaa, agora sim estamos na nossa forma usual :D Isso aí é a equação de um hiperboloide de uma folha não é? Afinal temos 2 sinais positivos e 1 negativo :P

Lembrando que como o z é o negativo, o hiperboloide está ao longo do eixo z .

O esboço dele fica assim

Passo 2

A distância focal tanto da elipse como da hipérbole é 2 c certo?

Queremos que 2 c = 120 , então

4 c 2 = 120

c 2 = 30

Passo 3

Vamos começar fazendo z = k na equação do hiperboloide:

x 2 1 4 + y 2 = 1 + k ²

Dividindo tudo por 1 + k ² :

x 2 1 + k 2 4 + y 2 1 + k ² = 1

Isso dá pra gente a equação de uma elipse, onde os parâmetros são

a 2 = 1 + k ² (lembrando que 1 + k 2 > 1 + k 2 4 )

b ² = 1 + k 2 4

Então

c 2 = a 2 - b ²

c 2 = 3 1 + k 2 4

Mas queremos que c 2 = 30 :

3 1 + k 2 4 = 30

3 1 + k 2 = 120

1 + k 2 = 40

k 2 = 39

k = ± 39

Então, a intersecção dos planos z = 39 e z = - 39 com nosso hiperboloide, forma elipses com distância focal 120

Passo 4

Agora vamos fazer y = k na equação do hiperboloide:

x 2 1 4 - z 2 = 1 - k ²

Dividindo tudo por 1 - k ² :

x 2 1 - k ² 4 - z 2 1 - k 2 = 1   ( I )

Ou:

- x 2 k 2 - 1 4 + z 2 k 2 - 1 = 1   ( I I )

Temos as equações de duas hipérboles, vamos encontrar seus parâmetros:

Em ( I ) :

a 2 = 1 - k ² 4 e b 2 = 1 - k 2

Então

c 2 = a 2 + b ²

c 2 = 5 1 - k ² 4

Do passo 1:

c 2 = 5 1 - k ² 4 = 3 0

5 1 - k 2 = 120

1 - k 2 = 24

k 2 = - 23 -> Impossível

Então vamos descartar a equação ( I ) :P

Em ( I I ) :

a 2 = k 2 - 1 e b 2 = k 2 - 1 4

Então

c 2 = 5 k 2 - 1 4

Do passo 1 temos que

c 2 = 5 k 2 - 1 4 = 30

5 k 2 - 1 = 120

k 2 = 25

k = ± 5

Portanto, em y = 5 e y = - 5 a intersecção nos dá hipérboles com distância focal 120

Passo 5

Ufa ta acabando!! Agora só falta fazer x = k na equação do hiperboloide:

y 2 - z 2 = 1 - 4 k ²

Dividindo tudo por 1 - 4 k ² :

y 2 1 - 4 k 2 - z 2 1 - 4 k 2 = 1   ( I I I )

Ou:

- y 2 4 k 2 - 1 + z 2 4 k 2 - 1 = 1   ( I V )

Temos duas equações de hipérboles novamente ok?

Em ( I I I ) :

a 2 = b 2 = 1 - 4 k ²

Então

c 2 = 2 ( 1 - 4 k 2 )

c 2 = 2 1 - 4 k 2 = 30

1 - 4 k 2 = 15

- 4 k 2 = 14

k 2 = - 14 4 -> Impossível

Então vamos descartar ( I I I ) fechou?

Em ( I V ) :

a 2 = b 2 = 4 k 2 - 1

c 2 = 2 4 k 2 - 1 = 30

4 k 2 - 1 = 15

4 k 2 = 16

k = ± 2

Então a intersecção dos planos x = 2 e x = - 2 com o hiperboloide, nos dá duas hipérboles com distância focal 120

Resposta

a) Hiperboloide de uma folha.

b) z = 39 e z = - 39

y = 5 e y = - 5

x = 2 e x = - 2

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