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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a quádrica Ω : 4 x 2 + 9 z 2 - 36 y - 54 z + 9 = 0 e a curva γ que é a intersecção de Ω com o plano z = 0 .

a) Identifique Ω .

b) Identifique γ .

c) Determine os elementos geométricos de γ tais como vértices, focos, assíntotas e diretriz.

d) Faça um esboço de γ .

Passo 1

a) Para encontrarmos γ , vamos completar quadrados:

4 x 2 + 9 z 2 - 54 z + 81 = 36 y - 9 + 81

Isso nos dá

4 x 2 + 9 z 2 - 6 z + 9 = 36 y + 72

4 x 2 + 9 z - 3 2 = 36 ( y + 2 )

Dividindo tudo por 36, temos

4 x 2 36 + 9 z - 3 2 36 = 36 y + 2 36

x 2 9 + z - 3 2 4 = ( y + 2 )

Essa equação reduzida nos mostra que Ω é um paraboloide elíptico, com vértice no ponto ( 0 ,   3 ,   - 2 ) e eixo paralelo ao eixo O y . Seu esboço ta na figura abaixo

Passo 2

b) A curva γ é a intersecção de Ω com o plano z = 0 . Então a gente tem que fazer z = 0 na equação de Ω :

x 2 9 + 0 - 3 2 4 = ( y + 2 )

x 2 9 + 9 4 = ( y + 2 )

x 2 9 = y + 2 - 9 4

x 2 9 = y - 1 4

Isso dá pra gente a equação de uma parábola :)

Passo 3

c) O vértice da nossa parábola γ vão ser as coordenadas que subtraem de x e y , ou seja, V = 0 , 1 4 .

O parâmetro p está no denominador de x ² em formato de 9 = 4 p , ou seja, p = 9 4 .

O foco vai ser F = 0 , 1 4 + 9 4 = 0 , 10 4 .

Então a diretriz de γ vai ser a reta X = 0 ,   - 2 + λ ( 1 ,   0 ) .

Passo 4

d) Abaixo temos um esboço da parábola γ :

Resposta

a) Parabolóide elíptico.

b) Parábola.

c) V = 0 , 1 4

p = 9 4

F = 0 , 10 4

Diretriz: X = 0 ,   - 2 + λ ( 1 ,   0 )

d)

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