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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a quádrica Ω de equação

4 x 2 - 9 y 2 + 4 z 2 - 16 x + 36 y - 16 z + 32 = 0

  1. Identifique e esboce Ω .
  2. Essa quádrica é uma superfície de revolução? Justifique sua resposta.

Passo 1

  1. Pra determinar a cônica, a primeira coisa que a gente tem que fazer é completar os quadrados.
  2. 4 x 2 - 9 y 2 + 4 z 2 - 16 x + 36 y - 16 z + 32 = 0

    4 x 2 - 4 x - 9 y 2 - 4 y + 4 z 2 - 4 z + 32 = 0

    4 x 2 - 4 x + 4 - 16 - 9 y 2 - 4 y + 4 + 36 + 4 z 2 - 4 z + 4 - 16 + 32 = 0

    4 x - 2 2 - 9 y - 2 2 + 4 z - 2 2 = - 36

    Passando o - 36 dividindo:

    - x - 2 2 9 + y - 2 2 4 - z - 2 2 9 = 1

    Essa é a equação de um hiperboloide de duas folhas, com centro em ( 2 ,   2 ,   2 ) .

    Passo 2

  3. Sim, essa superfície é de revolução! Como que a gente sabe disso? Bom, o eixo dela está sobre o eixo y , e quando a gente substitui valores y = k , as equações, quando não dão o conjunto vazio, são equações de circunferência!

x - 2 2 9 + z - 2 2 9 = 1 - k - 2 2 4

Sacou? Como deu essas circunferências em torno do eixo, essa superfície é de revolução!

Resposta

  1. - x - 2 2 9 + y - 2 2 4 - z - 2 2 9 = 1 : hiperboloide de duas folhas.
  2. Sim.

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