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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Dados os pontos P = ( 0 ,   1 ,   0 ) e Q = ( 0 ,   3 ,   0 ) . Identifique e esboce o lugar geométrico dos pontos X = ( x ,   y ,   z ) tais que

d X ,   P + d X ,   Q = 6

Passo 1

Usando a fórmula de distância entre pontos, temos

d X ,   P = x 2 + y - 1 2 + z 2

d X ,   Q = x 2 + y - 3 2 + z 2

Vamos jogar essas duas informações lá na equação do enunciado beleza?

x 2 + y - 1 2 + z 2 + x 2 + y - 3 2 + z 2 = 6

x 2 + y - 1 2 + z 2 = 6 - x 2 + y - 3 2 + z 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x 2 + y - 1 2 + z 2 = ( 6 - x 2 + y - 3 2 + z 2 ) ²

Abrindo os quadrados:

x 2 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 = 36 - 12 x 2 + y - 3 2 + z 2 + x 2 + y 2 - 6 y + 9 + z 2

Opa, tem uns termos iguais dos dois lados que dá pra gente cortar ou juntar hein :D aí sobra isso aqui:

44 - 4 y = 12 x 2 + y - 3 2 + z 2

Passo 2

Vamo dividir os dois lados por 4 ok?

11 - y = 3 x 2 + y - 3 2 + z 2

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado de novo

( 11 - y ) ² = ( 3 x 2 + y - 3 2 + z 2 ) ²

y 2 - 22 y + 121 = 9 x 2 + 9 y 2 - 54 y + 81 + 9 z 2

Juntando os termos iguais:

9 x 2 + 8 y 2 - 32 y + 9 z 2 = 40

Passo 3

Completando quadrados em y :

9 x 2 + 8 y 2 - 32 y + 32 + 9 z 2 = 40 + 32

9 x 2 + 8 ( y 2 - 4 y + 4 ) + 9 z 2 = 72

9 x 2 + 8 ( y - 2 ) ² + 9 z 2 = 72

Dividindo tudo por 72:

9 x 2 72 + 8 y - 2 2 72 + 9 z 2 72 = 1

Simplificando:

x 2 8 + y - 2 2 9 + z 2 8 = 1

Ufaaa acabou! Isso é a equação de um elipsoide com centro C = ( 0 ,   2 ,   0 ) . O desenho dele é assim:

Resposta

Elipsoide com centro C = ( 0 ,   2 ,   0 )

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