Exercícios Resolvidos de Quádricas

UFF, Lista 5 – Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, pág 1, ex. 3

Encontrar os pontos de interseção do parabolóide hiperbólico y 2 - x 2 = z com a reta

  x - 2 1 = y - 1 2 = z - 3 3

Passo 1

Para encontrar os pontos de interseção esses pontos devem satisfazer as duas equações:

y 2 - x 2 = z   x - 2 1 = y - 1 2 = z - 3 3

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Passo 2

Primeiro, para facilitar nossa análise, vamos passar a equação da reta para a forma paramétrica. Teremos:

x = 2 + t y = 1 + 2 t z = 3 + 3 t

Essas três expressões devem satisfazer

y 2 - x 2 = z

Substituindo:

( 1 + 2 t ) 2 - 2 + t 2 = ( 3 + 3 t )

Resolvendo:

t 2 - t - 2 = 0

t = 2       o u       t = - 1

Passo 3

Tendo os valores de t , vamos substituir nas equações paramétricas e descobrir as coordenadas dos pontos.

Para t = 2 :

x = 2 + 2 = 4 y = 1 + 2.2 = 5 z = 3 + 3.2 = 9

Teremos então o ponto ( 4 ,   5 ,   9 ) .

Para t = - 1 :

x = 2 - 1 = 1 y = 1 - 2 = - 1 z = 3 - 3 = 0

Ponto ( 1 ,   - 1 ,   0 ) .

Encontramos os pontos que interceptam o paraboloide hiperbólico.

4 ,   5 ,   9     e   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Resposta

4 ,   5 ,   9     e   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

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