Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a quádrica

Ω : x 2 + k 1 y ² + 6 k 2 y + k 3 z 2 = k 4

Identifique a quádrica Ω e também a intersecção de Ω com π : z - 1 = 0 . Especifique, em cada caso, o centro e a reta que contém os focos da cônica resultante dessa interseção.

a) k 1 = 1 , k 2 = 0 , k 3 = 4 e k 4 = 4

b) k 1 = 2 , k 2 = 2 , k 3 = - 1 e k 4 = - 18

Passo 1

a) Substituindo os coeficientes, a nossa equação vai ficar assim:

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4

Dividindo tudo por 4:

x 2 4 + y 2 4 + z 2 = 1

Isso é a equação de um elipsoide certo?

Passo 2

Agora vamos encontrar a intersecção com o plano z - 1 = 0 , que é a mesma coisa que igualar z a 1:

x 2 4 + y 2 4 + 1 2 = 1

x 2 4 + y 2 4 = 0

Opa, isso nos dá a degeneração de uma elipse, no caso é o ponto ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Passo 3

b) Substituindo os coeficientes:

x 2 + 2 y 2 + 12 y - 1 z 2 = - 18

Completando quadrados em y :

x 2 + 2 y 2 + 12 y + 18 - z 2 = - 18 + 18

x 2 + 2 y 2 + 6 y + 9 - z 2 = 0

x 2 + 2 y + 3 ² - z 2 = 0

Essa quádrica então é um cone :)

Passo 4

Encontrando a intersecção:

z = 1 → x 2 + 2 y + 3 ² - 1 2 = 0

x 2 + 2 y + 3 2 = 1

x 2 + y + 3 2 1 2 = 1

Isso nos dá a equação de uma elipse com centro C = ( 0 ,   - 3 ,   1 ) .

O eixo maior está sobre o eixo O x , e portanto, os focos estão na reta que tem como vetor diretor v → = ( 1 ,   0 ,   0 ) e que passa pelo ponto C .

A equação da reta que contém os focos é X = 0 ,   - 3 ,   1 + λ ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Resposta

a) x 2 4 + y 2 4 + z 2 = 1 (elipsoide)

Intersecção: ponto ( 0 ,   0 ,   1 )

b) x 2 + 2 y + 3 ² - z 2 = 0 (cone)

Intersecção: x 2 + y + 3 2 1 2 = 1

Isso nos dá a equação de uma elipse com centro C = ( 0 ,   - 3 ,   1 ) .

A equação da reta que contém os focos é X = 0 ,   - 3 ,   1 + λ ( 1 ,   0 ,   0 ) .

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