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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a quádrica

Ω : 2 x 2 + y 2 - z 2 + 4 x - 6 y + 11 = 0

  1. Identifique e esboce a quádrica Ω .
  2. Determine o(s) plano(s) da forma π : z = k de modo que a cônica Τ ⋂ π tenha distância focal igual a 2 2 .

Passo 1

  1. Pra identificar a cônica, a primeira coisa que a gente faz é completar os quadrados!
  2. 2 x 2 + y 2 - z 2 + 4 x - 6 y + 11 = 0

    2 x 2 + 2 x + y 2 - 6 y - z 2 + 11 = 0

    2 x + 1 2 - 2 + y - 3 2 - 9 - z 2 + 11 = 0

    2 x + 1 2 + y - 3 2 - z 2 = 0

    Passando o z 2 pro outro lado e dando uma arrumada:

    x + 1 2 1 2 + y - 3 2 = z 2

    Essa é a equação de um cone!

    Passo 2

  3. Ó, repara primeiro que pra z = 0 , a interseção é um único ponto, então vamos supor que z é diferente de 0 , beleza? Então pra z = k , vamos ter:

x + 1 2 1 2 + y - 3 2 = k 2

x + 1 2 k 2 2 + y - 3 2 k 2 = 1

Isso aí é uma elipse, né? Então, pela relação fundamental:

k 2 = k 2 2 + c 2

Como ele disse, a distância focal é 2 2 , e então:

2 c = 2 2

c = 2

Substituindo:

k 2 = k 2 2 + 2 2

k 2 = 4

k = ± 2

Assim, os dois planos vão ser:

π 1 : z = 2

π 2 : z = - 2

Resposta

  1. x + 1 2 1 2 + y - 3 2 = z 2
  2. π 1 : z = 2 , π 2 : z = - 2

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