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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Considere a quádrica Ω de equação

x 2 + 4 y 2 + z 2 - 12 z + 20 = 0

  1. Identifique e esboce Ω
  2. Determine a interseção de Ω com o plano z = 6 . Caso essa interseção seja uma cônica não degenerada (elipse, parábola ou hipérbole), determine seus vértices e focos.

Passo 1

  1. Pra identificar a quádrica, vamos primeiro completar quadrados, como sempre!
  2. x 2 + 4 y 2 + z - 6 2 - 36 + 20 = 0

    x 2 + 4 y 2 + z - 6 2 = 16

    x 2 4 2 + y 2 2 2 + z - 6 2 4 2 = 1

    Isso é a equação de um elipsoide de revolução! Seu centro encontra-se no ponto ( 0 ,   0 ,   6 ) .

    Passo 2

  3. Como a gente pode ver na figura, a seção em z = 6 é uma elipse! Substituindo na equação:

x 2 4 2 + y 2 2 2 + 6 - 6 2 4 2 = 1

x 2 16 + y 2 4 = 1

Essa elipse tem parâmetros geométricos:

a = 4

b = 2

Da relação fundamental:

a 2 = b 2 + c 2

16 = 4 + c 2

c = 2 3

O eixo maior é o eixo x e o eixo menor o eixo y ! Então seus vértices e focos vão ser os seguintes (não esquece que estão todos em z = 6 ):

A 1 = ( 4 ,   0 ,   6 )

A 2 = - 4 ,   0 ,   6

B 1 = 0 ,   2 ,   6

B 2 = 0 ,   - 2 ,   6

F 1 = 2 3 , 0 ,   6

F 2 = ( - 2 3 ,   0 ,   6 )

Resposta

  1. x 2 4 2 + y 2 2 2 + z - 6 2 4 2 = 1

x 2 4 2 + y 2 2 2 = 1  

A 1 = 4 ,   0 ,   6 ,   A 2 = - 4 ,   0 ,   6

B 1 = 0 ,   2 ,   6 ,   B 2 = 0 ,   - 2 ,   6

F 1 = 2 3 , 0 ,   6 ,   F 2 = ( - 2 3 ,   0 ,   6 )

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