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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Encontre as coordenadas dos focos da elipse que resulta da interseção de z = x 2 4 + y 2 9 com

z = 4 .

Passo 1

O enunciado já fala que a interseção do parabolóide elíptico z = x 2 4 + y 2 9 com o plano z = 4 será uma elipse. Então, para achar a elipse resultante basta substituirmos z = 4 na equação do paraboloide. Ficaremos com:

x 2 4 + y 2 9 = 4

Deixando na forma canônica, teremos:

x 2 16 + y 2 36 = 1

Passo 2

Já temos a expressão da elipse, agora, precisamos encontrar as coordenadas dos focos. Lá da teoria de “Cônicas” temos o seguinte resumo:

Como o maior valor do denominador está sobre o y , então realmente estamos no caso em que o eixo maior está sobre o eixo do y .

Vamos então, primeiro retirar os valores que precisamos. Da expressão:

x 2 16 + y 2 36 = 1

Temos que:

a = 6

b = 4

Usando a relação do resumo acima encontramos o valor de c :

c = 36 - 16 = 20 = 2 5

E todas essas contas que fizemos valem para z = 4 ! Então, as coordenadas dos focos da elipse serão:

0 ,   2 5 , 4     e       ( 0 ,   - 2 5 , 4 )

Acabouuuu!!!

Esse tipo de exercício é importante para percebermos como os assuntos estão conectados e que devemos estar com a teoria afiada ;).

Resposta

0 ,   2 5 , 4     e       ( 0 ,   - 2 5 , 4 )

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