Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Enunciado

Prove que a superfície z = x y é um paraboloide hiperbólico.

Passo 1

Para eliminarmos o termo x y , vamos fazer uma rotação anti-horária de π 4 no plano x O y :

x = u - v 2 y = u + v 2

Substituindo na equação do enunciado, temos

z = u - v 2 u + v 2

z = u - v u + v 2

z = u 2 - v 2 2

Isso nos dá a equação de um paraboloide hiperbólico no sistema u v z .

Resposta

Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

Escolhendo convenientemente os eixos, mostre que a interseção de um plano com uma quádrica central é uma cônica. Em particular, mostre que a interseção de um plano com um elipsoide é uma elipse.
Escreva as equações de mudança de eixos (rotações) que eliminam os termos em x y ,x zey z nas formas quadráticas do Exercício 44.1.
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y