Exercícios Resolvidos de Raízes

Ver Teoria

Enunciado

3. Para cada um dos itens abaixo:

(i) Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real.

(ii) Use sua calculadora para encontrar o intervalo de comprimento 0.01 que contenha uma raiz.

(a) x 3 - x 2 - 4 = 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que provar que a equação x 3 - x 2 - 4 = 0 tem pelo menos um raiz real e temos que obter um intervalo de 0,01 que contenha uma raiz.

Como fazemos isso? 🤔

Para mostrar que a equação tem ao menos uma raiz, temos que encontrar um ponto em que f x = x 3 - x 2 - 4 é positiva e um ponto em que f x é negativa.

Depois disso, usamos nossa calculadora para descobrir o intervalo de 0,01 que contém uma raiz.

Pronto? Bora lá! 😊

Passo 2

Se fizermos x = 0 , vamos obter que

f 0 = 0 3 - 0 2 - 4 = - 4

Ou seja, nesse ponto, a função está no lado negativo de y .

Agora se fizermos x = 3

f 3 = 3 3 - 3 2 - 4 = 14

Assim como em x = 3 f x > 0 e em x = 0 f x < 0 , nesse intervalo 0,3 deve haver uma raiz real!

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

Agora se aplicarmos a equação na calculadora, vemos que como o polinômio é de grau 3 , temos 3 raízes.

Essas raízes são dadas por...

x 1 = 2 x 2 = - 0,5 + 1,32 i x 3 = - 0,5 - 1,32 i

x 2 e x 3 não são raízes reais e nossa raiz real está justamente em x = 2

f 2 = 2 3 - 2 2 - 4 = 0

Portanto, o intervalo que contêm nossa raiz pode ser 1,991 ; 2,001

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x 1 = 2 ,     1,991 ; 2,001

Exercícios de Livros Relacionados

Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação c )x 4 - 3 x 3 + x 2 + 3 x = 2
Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação f )x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 = 0
Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação d )2 x 3 - x 2 - 1 = 0
Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação b )x 3 - x 2 + x + 14 = 0
Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação a )x 3 + 2 x 2 + x - 4 = 0