Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

Encontrar todos os números reais x tais que:

5 - x 2 < - 2

Passo 1

Aqui temos uma inequação com um termo de grau maior que 1 , vamos ver o que acontece com esse x 2 . Para isso, vamos isolá-lo:

- x 2 < - 2 - 5

- x 2 < - 7

Multiplicamos por ( - 1 ) para trocar o sinal e, como fazemos isso, invertemos a desigualdade também: x 2 > 7

Passo 2

Concluir qualquer coisa quanto a solução agora pode nos levar a algum erro, então vamos achar as raízes da equação correspondente:

x 2 = 7

x = ± 7

Passo 3

Encontradas as raízes, vamos retornar à inequação e fazer com que tenhamos zero em um dos lados:

x 2 > 7

x 2 - 7 > 0

As raízes determinarão os pontos candidatos a mudança de sinal, então vamos montar uma tabela com as raízes e achar os sinais entre elas para ver qual satisfaz a condição.

Na tabela acima, colocamos cada um dos intervalos entre as raízes e vamos agora verificar o sinal de x 2 - 7 em cada intervalo. Para isso, basta pegar um número nesse intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 7 . x = - 7 satisfaz essa condição, então vamos usá-lo:

x 2 - 7 ⟹ - 7 2 - 7 = 49 - 7 = 42 > 0

Então, x 2 - 7 > 0 nesse intervalo. Ficando:

Vamos pegar um número agora que satisfaça - 7 < x < 7 , como x = 0 . Assim:

x 2 - 7 ⟹ 0 2 - 7 = - 7 < 0

Então x 2 - 7 < 0 neste intervalo:

Para x > 7 , escolhemos x = 7 :

x 2 - 7 ⟹ 7 2 - 7 = 42 > 0

Assim:

Nossa equação é justamente x 2 - 7 > 0

Ou seja, a solução estará no intervalo onde temos o sinal de ( + ) (maior que zero). Dessa forma, temos:

S = x ∈ R :   x < - 7   o u   x > 7

Ou então:

S = x ∈ - ∞ , - 7 ∪ 7 , + ∞

Aberto, pois é maior e não maior ou igual. O símbolo indica que x pode pertencer a qualquer um dos intervalos ou a união deles.

Resposta

S = x ∈ - ∞ , - 7 ∪ 7 , + ∞

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