Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

A soma das raízes da equação 3 x - 2 = x + 2

É igual a:

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9
  5. 10

Passo 1

Vamos começar encontrando o domínio, para garantir que as raízes que acharmos estão de fato no domínio. Show. Precisamos que tudo que está dentro das raízes seja maior que zero.

Então, para 3 x - 2 :

3 x - 2 ≥ 0 ⟹ x ≥ 2 3

Para x :

x ≥ 0

Pegamos então a interseção, ou seja, teremos:

x ≥ 2 3

Logo, nosso domínio será: D = x ∈ R : x ≥ 2 3

Passo 2

Isolamos os radicais:

3 x - 2 = x + 2

3 x - 2 - x = 2

Passo 3

Elevamos tudo ao quadrado:

3 x - 2 - x = 2

3 x - 2 - x 2 = 2 2 = 4

Para o lado esquerdo:

3 x - 2 - x 2 = 3 x - 2 2 - 2 ⋅ 3 x - 2 x + x 2

3 x - 2 - 2 3 x - 2 x + x

4 x - 2 - 2 3 x - 2 x

Ficando:

4 x - 2 - 2 3 x - 2 x = 4

Passo 4

Agora isolamos o radical novamente:

4 x - 2 - 2 3 x - 2 x = 4

- 2 3 x - 2 x = - 4 x + 6

3 x - 2 x = 2 x - 3

Passo 5

E elevamos tudo ao quadrado: 3 x - 2 x = 2 x - 3  

3 x - 2 x 2 = 2 x - 3 2

Para o lado esquerdo, teremos:

3 x - 2 x 2 = 3 x - 2 x = 3 x 2 - 2 x

Para o lado direito:

2 x - 3 2 = 4 x 2 - 2 ⋅ 2 x ⋅ 3 + 9 = 4 x 2 - 12 x + 9

Ficando:

3 x 2 - 2 x = 4 x 2 - 12 x + 9

Passo 6

Agora, isolamos tudo de um lado para ficar na forma da equação de segundo grau:

3 x 2 - 2 x = 4 x 2 - 12 x + 9

x 2 - 10 x + 9 = 0

Que é uma equação na forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 1 b = - 10 c = 9

Podemos encontrar a soma das raízes sem calculá-las, mas estamos preocupados aqui se estas raízes são de fato solução, então é mais interessante calculá-las e verificar.

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: x = 10 ± - 10 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 9 2 ⋅ 1 = 10 ± 100 - 36 2 = 10 ± 64 2

x = 10 ± 8 2

Para cada sinal, vamos ter:

x 1 = 10 + 8 2 = 9

x 2 = 10 - 8 2 = 1

Passo 7

A mão de marcar a alternativa (e) - 10 chega a tremer, mas vamos com calma e verifiquemos se são solução de fato. Temos que:

D = x ∈ R : x ≥ 2 3

E:

2 3 < 1 < 9

Logo, tanto x 1 , quanto x 2 fazem parte do domínio. Até aí, OK. Vamos agora verificar se são solução mesmo. Vamos substituir diretamente:

3 x 1 - 2 = x 1 + 2

3 ⋅ 9 - 2 = 9 + 2

27 - 2 = 3 + 2

5 = 5

Opa, deu certo. Então x 1 é solução. Para x 2 :

3 x 2 - 2 = x 2 + 2

3 ⋅ 1 - 2 = 1 + 2

1 = 3

Opa, deu diferente! Então x 2 = 1 não é solução! Logo, a única raiz é x = 9 e, portanto, a soma será ele mesmo: a alternativa correta é a (d) - 9 !

Resposta

Alternativa (d).

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