Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

Encontrar todos os números reais x tais que:

x 2 - 2 x + 2 ≥ 0

Passo 1

Neste problema, podemos novamente recorrer a MARACUTAIA:

O segredo aqui está em completar quadrados. Temos aqui a expressão:

x 2 - 2 x + 2

Um quadrado perfeito do tipo x - a 2 tem distribuição:

x 2 - 2 a x + a 2

Olhando para nossa expressão, temos x 2 e - 2 x . Comparando com a forma do quadrado perfeito, temos que

- 2 x = - 2 a x

Então, a = 1 neste caso e teríamos: x 2 - 2 x + 1

Conseguimos obter essa expressão a partir do que temos:

x 2 - 2 x + 2 = x 2 - 2 x + 1 + 1

Assim, podemos reescrever:

x 2 - 2 x + 1 + 1 = x - 1 2 + 1

Passo 2

OK, mas o que isso me ajuda? Em muita coisa! Substituindo na nossa inequação:

x 2 - 2 x + 2 ≥ 0

x - 1 2 + 1 ≥ 0

Isolando o termo ao quadrado:

x - 1 2 ≥ - 1

Só que todo número real é ao quadrado �� sempre maior que zero. Assim:

x - 1 2 ≥ 0 > - 1

Logo, todo x satisfaz o problema!

S = x ∈ R

Resposta

S = x ∈ R

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