Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

Fatore o seguinte polinômio:

P x = x 3 + 3 x 2 - x - 3

Passo 1

Para fatorar esse polinômio, temos que encontrar suas raízes. Se pudermos escrever as raízes na forma p / q , então:

a n é divisível por q e a 0 divisível por p . Como: a n = 1 ⟹ q = ± 1

Para que seja divisível. Da mesma forma: a 0 = - 3 ⟹ p = ± 3 , ± 1

Assim, as possibilidades para p / q são: p q = ± 3 ,   ± 1

Passo 2

Vamos testar para cada um deles:

P 3 = 3 3 + 3 3 2 - 3 - 3 = 48 ≠ 0

Logo, não nos interessa. Vamos para o próximo: P - 3 = - 3 3 + 3 - 3 2 - - 3 - 3 = 0

Opa! Achamos uma. Faltam 2 :

P 1 = 1 3 + 3 1 2 - 1 - 3 = 0

Hehe, também é uma raiz. Vamos para a última: P - 1 = - 1 3 + 3 - 1 2 - - 1 - 3 = 0

Portanto, essa é mais uma raiz. Chegamos então as raízes:

x 1 = - 3 x 2 = 1 x 3 = - 1

Passo 3

Agora é só reescrever o polinômio fatorado, que ficará, pelas raízes: P x = x - - 3 x - 1 x - - 1

P x = ( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

Fizemos uma abordagem mais geral. Agora, a gente podia ter percebido o seguinte

x 3 + 3 x 2 - x - 3 = x 2 x + 3 - 1 . x + 3 = x + 3 x 2 - 1 = ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )

Que é o mesmo resultado!

Resposta

P x = x + 3 x - 1 x + 1

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