Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

6. Determine as raízes com suas respectivas multiplicidades das seguintes equações polinomiais:

(b) P x = 4 x 5 + 8 x 4 + x 3 - 5 x 2 - x + 1 = 0 ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

A ideia por trás desse problema é bem simples, o que temos que fazer é obter as raízes da função P x .

Como fazemos isso? 🤔

As raízes de uma função são os pontos em que o gráfico corta o eixo x , ou seja, quando y é igual a 0 no plano cartesiano.

Para obter esses pontos, igualamos a função a 0 e vemos quais valores de x faz com que a igualdade seja verdadeira. Porém, nesse caso, temos um polinômio de sexto grau, então o melhor que podemos fazer é fatorar P x .

Veja só como podemos fazer! 😁

Passo 2

Para esse problema, vamos usar o teorema das raízes racionais.

Nesse teorema, olhamos para o termo independente do polinômio, no caso: 1 e para o termo associado à variável de maior grau, no caso: 4 .

Esse teorema nos diz que as raízes de P x devem ser múltiplos da razão desses termos.

Ou seja, os valores múltiplos de 1 são, p = 1 , - 1 . Já os números múltiplos de 4 é apenas q = 1 , - 1 , 2 , - 2,4 , - 4 .

Logo, os candidatos a raízes da nossa função serão as raízes das combinações dos múltiplos do termo independente com os múltiplos do termo de maior grau.

p q = 1 1 , 1 - 1 , 1 2 , 1 - 2 , 1 4 , 1 - 4 , - 1 1 , - 1 - 1 , - 1 2 , - 1 - 2 , - 1 4 , - 1 - 4

Simplificando e eliminando os termos repetidos, temos

p q = 1 , - 1 , 1 2 , - 1 2 , 1 4 - 1 4

Dessa forma, os candidatos para raízes de P x são: x 1 = 1 , x 2 = - 1 , x 3 = 1 2 , x 4 = - 1 2 , x 5 = 1 4 e x 6 = - 1 4 .

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora substituímos cara candidato em P x e verificamos qual resulta em P x = 0

Para x 1 :

P 1 = 4 1 5 + 8 1 4 + 1 3 - 5 1 2 - 1 + 1 = 8

x 1 não é raiz de P x !

Para x 2 :

P - 1 = 4 - 1 5 + 8 - 1 4 + - 1 3 - 5 - 1 2 - - 1 + 1 = 0

Como P x 2 = 0 , x 2 é raiz de P x !

Para x 3 :

P 1 2 = 4 1 2 5 + 8 1 2 4 + 1 2 3 - 5 1 2 2 - 1 2 + 1 = 0

Da mesma forma, x 3 é raiz de P x !

Para x 4 :

P - 1 2 = 4 - 1 2 5 + 8 - 1 2 4 + - 1 2 3 - 5 - 1 2 2 - - 1 2 + 1 = 1 2

Para x 5 :

P 1 4 = 4 1 4 5 + 8 1 4 4 + 1 4 3 - 5 1 4 2 - 1 4 + 1 = 125 256

Por fim, para x 6 :

P - 1 4 = 4 - 1 4 5 + 8 - 1 4 4 + - 1 4 3 - 5 - 1 4 2 - - 1 4 + 1 = 243 256

Como x 2 = - 1 e x 3 = 1 / 2 foram os únicos valores para x em que P x = 0 , então essas são as únicas raízes de P x .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x = - 1 e x = 1 2

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