Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

Encontre as raízes dos polinômios abaixo através do método de inspeção:

a   x 2 - x

b   8 - 2 x 2

c   x 3 - 1

Passo 1

Oiiiiii, meu orgulho! É como eu sempre digo, vamos começar do começo:

a   x 2 - x

Lembra do que eu havia te falado sobre inspeção? Não é nada para te atrapalhar, é apenas uma forma de você encontrar uma raiz rapidamente. Porém, você não precisa entrar em desespero se não conseguir pegar essa técnica!

Vamos começar testando os números mais básicos. Lembrando que como temos um polinômio do segundo grau, acharemos duas raízes.

x = - 2 → - 2 2 - - 2 = 6

x = - 1 → - 1 2 - - 1 = 2

x = 0 → 0 2 - 0 = 0

x = 1 → 1 2 - 1 = 0

Opa, já encontramos os dois zeros que precisávamos. Logo, as raízes são 1 e 0 .

E podemos fatorar o polinômio da seguinte forma:

x - 0 x - 1 = x ( x - 1 )

O enunciado não pediu, mas eu quis fazer uma gracinha.

Passo 2

Dá uma olhada nessa agora:

b   8 - 2 x 2

Vamos checar aqueles números que te disse:

x = 3 → 8 - 2.3 2 = - 10

“Ah, mas você não disse nada sobre incluir o 3

Gente, é uma inspeção, você pode pesquisar com os números que você acha que têm chances de dar certo, se quiser testar com 50 , vá em frente! 😊

x = - 2 → 8 - 2 . ( - 2 ) 2 = 0

x = - 1 → 8 - 2 . ( - 1 ) 2 = 6

x = 0 → 8 - 2.0 2 = 8

x = 1 → 8 - 2.1 2 = 6

x = 2 → 8 - 2.2 2 = 0

Opa! Encontramos as duas raízes, que são - 2 e 2 . Fatorando esse polinômio:

2 x - 2 x - ( - 2 ) = 2 x - 2 ( x + 2 )

Lembrando que o termo líder, aquele que acompanha o x 2 é o 2 , então a gente o coloca para fora dos parênteses.

Passo 3

Finalmente, a última:

c   x 3 - 1

Cara, sem brincadeira, eu sou muito sua amiga. Coloquei esse exemplo para te explicar uma coisinha que muitos têm dúvida.

Vamos começar chutando valores:

x = - 2 → - 2 3 - 1 = - 9

x = - 1 → - 1 3 - 1 = - 2

x = 0 → 0 3 - 1 = - 1

x = 1 → 1 3 - 1 = 0

x = 2 → 2 3 - 1 = 7

Gente, socorro, só encontramos uma raiz. Isso quer dizer que estamos errados?

Não! Vamos fatorar esse polinômio, lembrando o seguinte:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Então:

x 3 - 1 = ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 )

Isso já é uma parte da nossa fatoração do polinômio, perceba que já temos o termo ( x - 1 ) , correspondente à raiz que encontramos. Mas e as outras duas raízes? Cadê? Precisamos fatorar aquele termo, fazendo Bhaskara em x 2 + x + 1 :

x = - 1 ± - 3 2

Bom, o nosso método só nos permite encontrar raízes racionais! Essas raízes que encontramos são complexas!!! Então seria impossível encontra-las pelo nosso método.

Nesse caso, quando encontramos apenas uma raiz real, e precisávamos de três, dizemos que ela tem multiplicidade 3 , como se ela valesse pelas 3 raízes nos reais. Outro exemplo:

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

A raiz desse polinômio de grau 2 é x = 2 e ela tem multiplicidade 2 .

Resposta

a   x = 0   e   x = 1

b   x = - 2   e   x = 2

c   x = 1 ,   c o m   m u l t i p l i c i d a d e   3

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