Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

A equação

2 x 2 - 1 + 1 x + 1 = - 1

  1. Tem apenas uma raiz real.
  2. Tem duas raízes reais cuja soma é 1.
  3. Não possui raízes reais.
  4. Tem três raízes reais cuja soma é 1 .
  5. Admite 4 como raiz.

Passo 1

Bem, o melhor caminho é justamente resolver essa equação e então determinar qual alternativa é válida. Antes disso, é muito importante verificarmos o domínio, para não correr o risco de considerarmos uma solução que não é válida.

Beleza, como temos aqui uma fração com polinômios, o domínio será todos os reais exceto os pontos onde o denominador dá zero. Temos os denominadores:

x 2 - 1

x + 1

Assim:

x 2 - 1 = 0 ⟹ x = ± 1

x + 1 = 0 ⟹ x = - 1

Portanto, nosso domínio será:

D = x ∈ R : x ≠ 1 , x ≠ - 1

Passo 2

Show, agora vamos guardar esse domínio no coração e resolver o problema. Começamos juntando as frações. Repare que:

x 2 - 1 = x - 1 x + 1

Então, vamos ter:

2 x 2 - 1 + 1 x + 1 = 2 x + 1 x - 1 + 1 x + 1

Assim, para juntar tudo, basta multiplicar e dividir a segunda fração por x - 1 :

2 x + 1 x - 1 + 1 x + 1 = 2 x + 1 x - 1 + x - 1 x + 1 x - 1

Com denominadores iguais, podemos somar normalmente os numeradores: 2 x + 1 x - 1 + x - 1 x + 1 x - 1 = 2 + x - 1 x + 1 x - 1 = x + 1 x + 1 x - 1

E ainda vamos poder cortar o x + 1 que está sozinho no numerador com o x + 1 denominador:

x + 1 x + 1 x - 1 = 1 x - 1

Legal, então nossa equação vai ficar:

2 x 2 - 1 + 1 x + 1 = - 1

1 x - 1 = - 1

Passo 3

O próximo passo agora é justamente jogar o denominador para o outro lado multiplicando: 1 = - 1 x - 1

Já dá para resolver:

1 = - x + 1

x = 0

Ou seja, a única solução é x = 0 . Esse valor também está dentro do domínio, então é válido. Com isso, nossa resposta será a letra (a): apenas uma raiz real ( 0 pertence aos reais).

Resposta

Alternativa (a).

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