Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

6. Determine as raízes com suas respectivas multiplicidades das seguintes equações polinomiais:

(a) P x = x 6 - 2 x 5 + x 4 - 4 x 3 + 11 x 2 - 10 x + 3 = 0 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

A ideia por trás desse problema é bem simples, o que temos que fazer é obter as raízes da função P x .

Como fazemos isso? 🤔

As raízes de uma função são os pontos em que o gráfico corta o eixo x , ou seja, quando y é igual a 0 no plano cartesiano.

Para obter esses pontos, igualamos a função a 0 e vemos quais valores de x faz com que a igualdade seja verdadeira. Porém, nesse caso, temos um polinômio de sexto grau, então o melhor que podemos fazer é fatorar P x .

Veja só como podemos fazer! 😁

Passo 2

Para esse problema, vamos usar o teorema das raízes racionais.

Nesse teorema, olhamos para o termo independente do polinômio, no caso: 3 e para o termo associado à variável de maior grau, no caso: 1 .

Esse teorema nos diz que as raízes de P x devem ser múltiplos da razão desses termos.

Ou seja, os valores múltiplos de 3 são, p = 1 , - 1,3 , - 3 . Já os números múltiplos de 1 é apenas q = 1 , - 1 .

Logo, os candidatos a raízes da nossa função serão as raízes das combinações dos múltiplos do termo independente com os múltiplos do termo de maior grau.

p q = 1 1 , 1 - 1 , - 1 1 , - 1 - 1 , 3 1 , 3 - 1 , - 3 1 , - 3 - 1

Simplificando e eliminando os termos repetidos, temos

p q = 1 , - 1,3 , - 3

Com isso, os candidatos para raízes de P x são x 1 = 1 , x 2 = 3 , x 3 = - 1 e x 4 = - 3 .

Parece magia, não é? 👀

Então o que temos que fazer é substituir esses valores na função e verificar para quais P x = 0 .

Para x 1 ...

P 1 = 1 6 - 2 1 5 + 1 4 - 4 1 3 + 11 1 2 - 10 1 + 3 = 0

Opa! x 1 é uma raiz de P x , pois P x 1 = 0

Agora para x 2 :

P 3 = 3 6 - 2 3 5 + 3 4 - 4 3 3 + 11 3 2 - 10 3 + 3 = 288

Como P x 2 ≠ 0 , x 2 = 3 não é raiz de P x .

Para x 3 ...

P - 1 = - 1 6 - 2 - 1 5 + - 1 4 - 4 - 1 3 + 11 - 1 2 - 10 - 1 + 3 = 32

Para x 4 :

P - 3 = - 3 6 - 2 - 3 5 + - 3 4 - 4 - 3 3 + 11 - 3 2 - 10 - 3 + 3 = 1536

Portanto, P x possui apenas uma raiz real e é em x = 1 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x = 1

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