Em alguns casos, é necessário aplicar a Regra de L’Hôspital mais de uma vez. Por exemplo,

l i m x → +   ∞ e x x ²   =   l i m x → +   ∞ e x 2 x   = l i m x → +   ∞ e x 2   =   + ∞   .

Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo ∞ ∞ , enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.

Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.

c )   l i m x → ∞ x ²   +   3 e 3 x e 3 x  

Passo 1

Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!!

Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!! A questão quer que encontremos o valor do limite da expressão x ²   +   3 e 3 x e 3 x quando x tender ao infinito. E o grande detalhe dessa questão é a possibilidade de não resolver a indeterminação usando apenas uma vez a regra de L’Hôspital e sim resolver fazendo o uso da regra mais vezes em cada expressão encontrada até que não haja mais indeterminações. Sendo assim, vamos relembrar rapidinho o que diz a regra de L’Hôspital:

l i m x → a f ( x ) g ( x )   =   l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )

Passo 2

Então por onde começamos??

Bora primeiro nomear as partes da nossa expressão.

f ( x )   =   x ² + 3 e 3 x

g ( x )   =   e 3 x

Aplicando a regra de L’Hôspital, temos:

l i m x → ∞   x ² + 3 e 3 x   e 3 x   = l i m x → ∞   ( x ² + 3 e 3 x ) ' (   e 3 x )   =   l i m x → ∞   2 x + 9 e 3 x 3   e 3 x   =   ∞ ∞  

Como na primeira aplicação da regra ainda encontramos uma indeterminação, vamos aplicar novamente essa mesma regra como sugere o enunciado da nossa questão.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôspital pela segunda vez, temos:

l i m x → ∞   x ² + 3 e 3 x   e 3 x = l i m x → ∞ (   2 x + 9 e 3 x ) ' ( 3   e 3 x ) '     =   l i m x → ∞ 2   +   27 e 3 x 9 e 3 x   =   l i m x → ∞ 2 9 e 3 x   +   3   =   0   +   3   =   3

Lembrando que qualquer número dividido pelo “infinito” é igual a 0 .

Tudo tranquilo? Espero que sim!

Tchauzinho!

Resposta

l i m x → ∞   x ² + 3 e 3 x   e 3 x   =   3

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2