Calcule cada um dos limites abaixo.

h )   l i m x → 0 x c o s ( 1 x )    

Passo 1

Falaaaa, gente linda! Tudo certo com vocês? Essa expressão parece complicadinha, eu sei…

Sai pra lá gatinho, quero você aqui feliz e animado, igual nossos alunos do Responde Aí. Assim, olha:

Ok, agora que temos alunos e gatinhos felizes, podemos seguir com a questão hehehe.

Bom pessoal precisamos resolver o limite dessa expressão x c o s ( 1 x ) quando o x se aproxima de 0 . Por onde vocês acham que podemos começar???

Passo 2

Meu povo tem uma propriedade de limites que vai tornar o nosso problema muito mais simples, essa propriedade se refere ao limite do produto de duas ou mais funções:

l i m x → a [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ]   =   l i m x → a f ( x )   ⋅ l i m x → a g ( x )

Com base nisso, iremos reescrever a nossa expressão

l i m x → 0 [ x c o s ( 1 x ) ]     = l i m x → 0 x   ⋅ l i m x → 0 c o s ( 1 x )  

Perceba que agora a nossa expressão fica menos “assustadora”.

Passo 3

Basta agora descobrirmos os valores de cada limite separadamente.

l i m x → 0 x = l i m x → 0 0   =   0  

Lembrando que esse resultado também se refere a uma outra propriedade de limites que diz que

l i m x → a k   =   k , sendo k uma constante!

Passo 4

Agora precisamos saber o valor de l i m x → 0 c o s ( 1 x ) , e pra saber o valor dessa expressão temos que desenvolver um raciocínio não tão trivial assim.

Como a função c o s é uma função limitada :   - 1   ≤ c o s ( 1 x )   ≤ 1   . Aplicando o limite em toda essa expressão obteremos que

l i m x → 0 - 1   ≤ l i m x → 0 c o s ( 1 x ) ≤ l i m x → 0 1    

- 1   ≤ l i m x → 0 c o s ( 1 x ) ≤ 1    

Portanto conclui-se que o valor de l i m x → 0 c o s ( 1 x ) será uma quantia entre [ - 1,1 ] .

Passo 5

Agora que já sabemos os valores de cada limite separadamente, podemos finalizar nosso probleminha.

l i m x → 0 [ x c o s ( 1 x ) ]     = l i m x → 0 x   ⋅ l i m x → 0 c o s ( 1 x )  

l i m x → 0 [ x c o s ( 1 x ) ]     =   0 ⋅ l i m x → 0 c o s ( 1 x )   =   0

É aquilo que dissemos no passo anterior como a função cosseno é limitada qualquer que seja o valor de l i m x → 0 c o s ( 1 x ) entre [ - 1,1 ] ao ser multiplicado por zero resultará em zero!

Essa questão foi show de bola né?

Bons Estudos e até mais! :)

Resposta

l i m x → 0 [ x c o s ( 1 x ) ]   =   0

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2