Enunciado

Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível

lim x → 0 ⁡ sec 3 ⁡ x 1 - cos ⁡ x

Passo 1

O que é a regra do L’Hopital? Simplesmente nossa salvação quando temos um limite difícil de resolver! Hahah

Basicamente você vai derivando a função até ela parar de dar ruim kkkk

Mas algo sempre de extrema importância antes de sair tacando derivada e L’Hopital, é ver se a função vai ter um limite quando substituirmos o valor pelo qual x está tendendo.

Passo 2

Note que se fizermos substituição direta, teremos:

⁡ sec 3 ⁡ ( 0 ) 1 - cos ⁡ 0

No denominador já vamos ter um k.o, né...pois cos ⁡ 0 = 1 e teríamos algo divido por zero que é uma indeterminação.

Ou seja, precisamos aplicar L’Hopital pra acharmos esse limite!!!

Passo 3

Primeira coisa que vamos fazer aqui é lembrar que vamos precisar aplicar a regra do quociente nesse problema, pois temos uma divisão de duas funções, certo?

Chamando f x = sec 3 ⁡ x 1 - cos ⁡ x , temos que a derivada de f ' ( x )

f ' x = d d x sec 3 ⁡ x 1 - cos ⁡ x - sec 3 ⁡ x d d x 1 - cos ⁡ x   1 - cos ⁡ x 2

Olhando pra nossa primeira derivada, já vamos ter que usar regra da cadeia, pois temos uma função composta.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:

d d x sec 3 ⁡ x = d d x sec ⁡ x 3 = 3   sec ⁡ x 2 sec ⁡ x tan ⁡ x

d d x sec 3 ⁡ x = 3 sec 3 ⁡ x t a n ⁡ ( x )

Lembrando que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , logo sec 3 ⁡ ( x ) = 1 cos 3 ⁡ x . Além disso, lembrando que tan ⁡ x = s e n x cos ⁡ x , na verdade, temos que:

d d x sec 3 ⁡ x = 3 s e n x cos 4 ⁡ x  

Por sua vez, voltando a regra do quociente, a derivada de d d x 1 - cos ⁡ x = s e n ( x )

Passo 5

Substituindo na regra do quociente, temos:

f ' x = d d x sec 3 ⁡ x 1 - cos ⁡ x - sec 3 ⁡ x d d x 1 - cos ⁡ x   1 - cos ⁡ x 2

f ' x = 3 s e n x cos 4 ⁡ x 1 - cos ⁡ x - sec 3 ⁡ x   s e n ( x ) 1 - 2 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x

Fazendo agora o limite disso, temos:

lim x → 0 ⁡ 3 s e n x cos 4 ⁡ x 1 - cos ⁡ x ⏞ 0 - sec 3 ⁡ x ⏞ 1   s e n ( x ) 1 - 2 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x ⏟ 1 - 2 + 1 → 0 = ∞

Note que o numerador dará um valor e o denominador um valor tendendo a zero, implicando que temos um resultado infinito.

Resposta

lim x → 0 ⁡ sec 3 ⁡ x 1 - cos ⁡ x = ∞

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