C2. Calcule os limites abaixo. Observação. Não há conteúdo novo nesse exercício, são limites dos tipos já estudados todos misturados.

i) x   - 2 x - 4    

Passo 1

Faaala pessoal 😊! Vamo que vamo pra mais uma questão de limites fundamentais. Nessa questão, a gente busca fugir de indeterminações que a resolução trivial do limite nos leva. Saca só nessa:

x   - 2 x - 4    

Se a gente simplesmente aplicar o valor de x na equação, você consegue achar a qual tipo de indeterminação ela nos leva? Vamos ver:

x   - 2 x - 4    

Aplicando o valor de x :

4   - 2 4 - 4    

Logo a gente tem:

4   - 2 4 - 4 = 2   0      

x   - 2 x - 4 = 0 0    

Passo 2

Tá, mas... como a gente escapa disso? Usando L’hospital! Vamo lá que eu vou te ensinar como a gente faz. Primeiro, vamos dar uma manipuladinha em como a gente enxerga esse logarítimo.

x   - 2 x - 4    

Aqui, podemos transformar o logarítimo em uma divisão de L n ’s. Isso vai nos ajudar quando derivarmos a função. Mudamos então o log para:

x   → l n l n   x   l n l n   2  

Portanto no nosso limite a gente passa a ter:

x   - 2 x - 4     =   l n l n   x   l n l n   2   - 2 x - 4    

Passo 3

Agora é a hora de cair pro abraço! Aplicaremos a regra de L’Hospital nessa função do limite! Pela regra, em limites que nos levam a inderteminações do tipo 0 0 por exemplo, podemos derivar as duas funções separadamente (numerador e denominador) a fim de gerar uma nova função g ( x ) que ao aplicarmos o valor do limite nela, encontramos um valor que condiz matematicamente. Temos então:

l n l n   x   l n l n   2   - 2 x - 4    

1 l n l n   2   ⋅ l n l n   x   - 2 x - 4    

Aqui, a gente pode derivar essa função, obtendo:

1 l n l n   2   ⋅ 1 x 1    

1 l n l n   2   ⋅ x    

Aplicando o limite:

1 l n l n   2   ⋅ x     = 1 4 ⋅ l n l n   2  

E é isso! Sempre importante de estar revisando os assuntos de derivadas pra gente ficar sempre calibrado quando nos depararmos com limites que precisam de L ' H o s p i t a l . Valeu e até a próxima, folks!

Resposta

1 4 ⋅ l n l n   2  

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)