Seja

f x = x - a x - x + 2   , se   x ≠ 4 b , se   x = 4

Determine a e b , de modo que f seja continua em x = 4

Passo 1

Sabemos que, para que a função seja contínua em x = 4 , que é onde podemos ter uma descontinuidade por causa óbvia, precisamos que:

lim x → 4 + ⁡ f x = lim x → 4 - ⁡ f x = f 4

Aplicando o limite pela direita

lim x → 4 + ⁡ f x = lim x → 4 + ⁡ x - a x - x + 2

Substituindo o valor de x por 4 teremos

lim x → 4 + ⁡ f x = 4 - a 4 - 4 + 2 = 4 - a 0

Podemos perceber que se a não for 4 , esse limite vai para infinito, mas queremos que ele de algum valor, então

a = 4

Passo 2

Vamos agora resolver esse limite.

Trocando o valor de a passamos a ter uma indeterminação do tipo 0 0 , então podemos aplicar a regra de L’Hôspital

lim x → 4 + ⁡ x - 4 x - x + 2 = lim x → 4 + ⁡ x - 4 ' x - x + 2 ' =

= lim x → 4 + ⁡ 1 1 / ( 2 x ) - 1

Substituindo de novo x por 4 , temos

lim x → 4 + ⁡ 1 1 / ( 2 x ) - 1 = 1 1 / ( 2 4 ) - 1 = 1 1 / 4 - 1 = 1 - 3 / 4 = - 4 3

Passo 3

Tanto o limite pela direita como o limite pela esquerda, usam a mesma lei da função, e usando L’Hôspital, vamos achar o mesmo limite, as contas são idênticas. Temos então

lim x → 4 + ⁡ f x = lim x → 4 - ⁡ f x = - 4 3

Como

f 4 = b

b = - 4 3

Resposta

a = 4

b = - 4 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2