A Regra de L’Hôspital se aplica somente a indeterminações do tipo 0 0 e ∞ ∞ . Em alguns casos, quando temos uma indeterminação do tipo 0 ⋅ ∞ , uma manipulação algébrica adequada nos permite aplicar L’Hôspital. Por exemplo,

l i m x → - ∞ ( x - 3 ) e x   =   l i m x → - ∞ x - 3 e - x   = l i m x → - ∞ 1 - e - x   =   0  

Note que, no segundo limite acima, temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , enquanto no último o denominador tende para infinito.

Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.

a )   l i m x → 0 + x ² l n ( x )

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha! Bom a nossa questão deseja saber o limite de x ² l n ( x ) quando x tender a 0 + . Além disso, a questão nos sugere que em algumas indeterminações manipulações algébricas nos auxiliam a fugir das mesmas. Portanto, sendo possível a resolução do limite desejado. Bora lá?

Passo 2

Primeiro vamos tentar resolver o limite em questão utilizando a regra de L’Hôspital:

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Utilizando os dados em questão, temos:

l i m x → 0 + x ²   l n ( x )   = l i m x → 0 + 2 x   l n ( x )   + x  

Bom não conseguiremos resolver isso da forma que tá, uma vez que l n   0 não existe. Dessa forma, precisaremos fazer uma estratégia matemática para resolver esse limite.

Passo 3

Bom vamos reescrever nossa expressão,

x ²   l n ( x )   =   l n   x 1 z ²

Agora vamos aplicar a regra de L’Hôspital para a expressão encontrada:

l i m x → 0 + x ²   l n ( x )   = l i m x → 0 + l n   x 1 z ²   = l i m x → 0 + ( l n   x 1 z ² ) '   = l i m x → 0 + 1 x ⋅ ( - x ³ 2 )   =   l i m x → 0 + - x ² 2   = 0    

E aí, deu tudo certo??

Bora fazer mais!

Resposta

l i m x → 0 + x ²   l n ( x )   =   0

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2