Em alguns casos, é necessário aplicar a Regra de L’Hôspital mais de uma vez. Por exemplo,

l i m x → +   ∞ e x x ²   =   l i m x → +   ∞ e x 2 x   = l i m x → +   ∞ e x 2   =   + ∞   .

Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo ∞ ∞ , enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.

Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.

d )   l i m x → 0 l n ( 1 + x )   -   x   - x ² 2   -   x ³ 6 x ³  

Passo 1

Oooi gente, como está a semana de vocês? Bora levantar o astral e resolver esse probleminha?

A questão quer que encontremos o valor do limite da expressão l n ( 1 + x )   -   x   - x ² 2   -   x ³ 6 x ³ quando x tender a zero.

A dica que essa questão nos dá é a possibilidade de não resolver a indeterminação usando apenas uma vez a regra de L’Hôspital mas sim fazer o uso da regra mais vezes em cada expressão encontrada até que não haja mais indeterminações. Sendo assim, vamos relembrar rapidinho o que diz a regra de L’Hôspital:

l i m x → a f ( x ) g ( x )   =   l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )

Passo 2

Então por onde começamos??

Bora primeiro nomear as partes da nossa expressão.

f ( x )   =   l n ( 1   +   x )   -   x   - x ² 2   -   x ³ 6

g ( x )   =   x ³

Aplicando a regra de L’Hôspital, temos:

l i m x → 0 l n ( 1 + x )   -   x   - x ² 2   -   x ³ 6 x ³   = l i m x → 0 ( l n ( 1 + x )   -   x   - x ² 2   -   x ³ 6 ) ' ( x ³ ) '   = l i m x → 0 1 1 + x - 1 - x - x ² 2 3 x ²   = 0 0  

Como na primeira aplicação da regra ainda encontramos uma indeterminação, vamos aplicar novamente essa mesma regra como sugere o enunciado da nossa questão.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôspital pela segunda vez, temos:

l i m x → 0 l n ( 1 + x )   -   x   - x ² 2   -   x ³ 6 x ³ = l i m x → 0 ( 1 1 + x - 1 - x - x ² 2 ) ' ( 3 x ² ) '     =   l i m x → 0 - 1 x ²   - 1 - x 6 x = l i m x → 0 - 1   - x ²   - x ³ 6 x ³   =   - 1 0

Sendo assim, como não existe divisão por 0 , então não existe o limite para a expressão.

Tudo bem? Espero que sim!

Um abraço!

Resposta

Não existe o limite para a expressão em questão

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2