Calcule os seguintes limites.

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 2 x

Passo 1

Note que aplicando o limite diretamente a gente vai ter uma indeterminação do tipo ∞ * 0 . Então o que podemos fazer aqui? TCHARAAAMMM! Regra do L’Hopital.

Essa regra diz que a gente pode ir derivando a função até que saiamos da indeterminação.

Passo 2

Então, vamos derivar uma vez?

d d x x ln ⁡ 1 + 2 x

Note que vamos precisar usar a regra do produto.

d d x x ln ⁡ 1 + 2 x = d d x x ln ⁡ 1 + 2 x + x d d x ln ⁡ 1 + 2 x

d d x x = 1

d d x ln ⁡ 1 + 2 x

Lembrando da derivada de ln ⁡ u , temos que d l n u = d u u

Então nosso u = 1 + 2 x , logo d u = - 2 x 2

Assim,

d l n u = - 2 x 2 1 + 2 x

Logo, aquela nossa derivada ali do ln ⁡ 1 + 2 x vai ser exatamente igual a

- 2 x 2 1 + 2 x

Com isso, temos:

d d x x ln ⁡ 1 + 2 x = d d x x ln ⁡ 1 + 2 x + x d d x ln ⁡ 1 + 2 x

d d x x ln ⁡ 1 + 2 x = d d x = 1 + 2 x - 2 x 2 1 + 2 x

Beleza, agora vamos aplicar o limite:

lim x → ∞ ⁡ = d d x x ln ⁡ 1 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x - 2 x 2 1 + 2 x

lim x → ∞ ⁡ 1 + 0 - 2 ∞ 2 1 + 0 = 1 - 0 = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 2 x = 1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)