09) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ s e n x + s e n 3 x + s e n 5 x t g 2 x + t g 4 x + t g 6 x

Passo 1

Eaí gente, prontos pra matar mais um limite?!

Primeiro, precisamos fazer x = 0 pra verificar se já dá pra resolver o limite assim:

lim x → 0 ⁡ s e n x + s e n 3 x + s e n 5 x t g 2 x + t g 4 x + t g 6 x = 0 0

Puts, uma indeterminação matemática.

Vamos pensar mais um pouco então.

Passo 2

Note que nesse caso é bem difícil encaixar o limite considerado no limite fundamental trigonométrico, por exemplo. Também não conseguimos usar o teorema do anulamento. Provavelmente teríamos que ter um grande trabalho trigonométrico, usando algumas identidades, para conseguir resolver esse limite. Nesses casos, podemos fazer uso de um teorema muito poderoso, o teorema de L’hospital. Ele diz o seguinte:

Se a gente tiver um limite que quando substituímos o valor que x está tendendo caímos em uma indeterminação (algo como 0 / 0 ou ∞ / ∞ ), podemos afirmar que:

lim x → p ⁡ f x g x = lim x → p ⁡ f ' x g ' x

Onde f ' e g ' são as derivadas de f e g , respectivamente.

Veja que nessa questão acontece exatamente isso, caímos em uma indeterminação matemática do tipo 0 / 0 . Então vamo usar L’hospital.

Passo 3

f x = s e n x + s e n 3 x + s e n ( 5 x )

⇒ f ' x = cos ⁡ x + 3 ⋅ cos ⁡ 3 x + 5 ⋅ c o s ⁡ ( 5 x )

De forma bem parecida:

g x = t g 2 x + t g 4 x + t g ( 6 x )

⇒ g ' x = 2 ⋅ sec 2 ⁡ 2 x + 4 sec 2 ⁡ 4 x + 6 ⋅ sec 2 ⁡ 6 x  

Então, pelo teorema de L’hospital, temos que:

lim x → 0 ⁡ s e n x + s e n 3 x + s e n 5 x t g 2 x + t g 4 x + t g 6 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x + 3 cos ⁡ 3 x + 5 cos ⁡ 5 x 2 sec 2 ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ 4 x + 6 sec 2 ⁡ 6 x

Olha que maravilha! Esse teorema é muito legal. Agora, quando x → 0 não temos mais uma indeterminação matemática. Então:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x + 3 cos ⁡ 3 x + 5 cos ⁡ 5 x 2 sec 2 ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ 4 x + 6 sec 2 ⁡ 6 x = 1 + 3 + 5 2 + 4 + 6 = 9 12 = 3 4

Conseguimos simplificar bastante a questão usando essa técnica 😊

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n x + s e n 3 x + s e n 5 x t g 2 x + t g 4 x + t g 6 x = 3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)