Calcule os seguintes limites.

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1

Passo 1

Note que aplicando o limite diretamente a gente vai ter uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então o que podemos fazer aqui? TCHARAAAMMM! Regra do L’Hopital.

Essa regra diz que a gente pode ir derivando a função até que saiamos da indeterminação.

Passo 2

Antes de pensar no limite, vamos usar que y = e ln ⁡ y :

2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1 = e ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1 = e 2 x + 1 ⋅ ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5

Assim,

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1 = e lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 ⋅ ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5

Desta forma, o limite que nos interessa é

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 ⋅ ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5

Passo 3

Vamos fazer a mudança de variável t = 2 x + 1 . Assim, 2 x = t - 1 e quando x → ∞ , t → ∞ . Desta forma,

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 ⋅ ln ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 = lim t → ∞ ⁡ t ⋅ ln ⁡ t - 4 t + 4

Quando t → ∞ , t - 4 t + 4 → 1 , assim o limite é uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 . Podemos reescrevê-lo como

lim t → ∞ ⁡ t ⋅ ln ⁡ t - 4 t + 4 = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t - 4 t + 4 1 / t

Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0: podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e denominador separadamente para evitar confusão:

ln ⁡ t - 4 t + 4 ' = 1 t - 4 t + 4 ⋅ t - 4 t + 4 ' = t + 4 t - 4 ⋅ 1 ⋅ t + 4 - 1 ⋅ t - 4 t + 4 2 = 8 ( t + 4 ) ( t - 4 )

1 t ' = - 1 t 2

Assim, pela regra de L’Hospital:

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t - 4 t + 4 1 / t = lim t → ∞ ⁡ 8 / ( t + 4 ) ( t - 4 ) - 1 / t 2 = lim t → ∞ ⁡ - 8 t 2 t 2 - 16

Podemos aplicar L’Hospital novamente, porém isso não é necessário. Colocando t 2 em evidência:

lim t → ∞ ⁡ - 8 t 2 t 2 - 16 = lim t → ∞ ⁡ - 8 t 2 t 2 1 - 16 t 2 = lim t → ∞ ⁡ - 8 1 - 16 t 2 = - 8

Assim,

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 5 2 x + 1 = e - 8

Resposta

e - 8 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)