Seja n ∈ N . Calcule o limite

lim x → + ∞ ⁡ e a x x n

Para distintos valores de a ∈ R

Passo 1

Nessa questão aqui ela de início vai te assustar, mas depois que você entender realmente o que é pra fazer, vai tirar de letra. Note que ele pede pra gente verificar os valores de n e a pra esse limite existir, em outras palavras, esse limite NUNCA poderá dar indeterminação, e se der vamos aplicar L’Hopital. Então, vamos fazer a análise para alguns casos. Vamos olhar para nossa variável a , porque de fato ela vai determinar tudo nessa questão!!

Os casos em que 0 ≤ a ≤ 0 serão abordados porque isso inclui todo o domínio dos reais.

Passo 2

O primeiro será a = 0

lim x → + ∞ ⁡ e 0 x n = 1 ∞ = 0

Opa, o limite é 0

Passo 3

Para a > 0

lim x → + ∞ ⁡ e a x x n = ∞ ∞

Vamos ter que usar L’Hopital aqui.

lim x → + ∞ ⁡ e a x x n = l i m x → + ∞ a e a x l i m x → + ∞ n x n - 1 = ∞

Passo 4

E agora se a < 0

lim x → + ∞ ⁡ 1 e a x x n = lim x → + ∞ ⁡ 1 x n e a x = 0

O limite é zero!

Resposta

  1. a = 0 ,   l i m i t e   é   0
  2. a > 0 ,   l i m i t e   é   ∞
  3. a < 0 ,   l i m i t e   é   0

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)