Em alguns casos, é necessário aplicar a Regra de L’Hôspital mais de uma vez. Por exemplo,

l i m x → +   ∞ e x x ²   =   l i m x → +   ∞ e x 2 x   = l i m x → +   ∞ e x 2   =   + ∞   .

Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo ∞ ∞ , enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.

Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.

a )   l i m x → 0 e x - 1   - x   - x ² 2 x ²

Passo 1

E aí, xuxus!! Quais as novidades? A que eu tenho pra vocês é que vão tirar 10 nessa matéria :)

Bom o enunciado da nossa questão já chama nossa atenção para alguns casos que se fazem necessário o uso da regra de L’Hôspital mais de uma vez para que se possa solucionar eventuais indeterminações do tipo 0 0 ou ∞ ∞ . Vocês lembram de como é essa regra???

O recurso consiste na ideia de que sejam f   e   g duas funções contínuas num intervalo I , deriváveis no interior de I , tais que g ' ( x )   ≠   0 para todo x no interior de I . Seja a   ∈   I e suponha-se que f ( a ) = g ( a )   =   0 e que existe l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )   . Portanto, pode-se afirmar que

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

A teoria é estranha, eu sei! Mas tirando isso, tá tudo tranquilo?

Passo 2

O nosso item quer saber qual é o limite de e x - 1   - x   - x ² 2 x ² quando o x tender a 0 . Então primeiro vamos chamar de f ( x )   =   e x - 1   - x   - x ² 2   e g ( x )   = x ²   .

Assim, para utilizarmos a regra de L’Hospital deveremos encontrar a derivada das funções f ( x )   e   g ( x ) .

f ' ( x )   = e x - 0 - 1 - 2 x 2 =   e x - 1 - x  

g ' ( x )   = 2 x

Derivadas já encontradas, agora basta aplicar a regra.

Passo 3

De acordo com a Regra de L’Hospital:

l i m x → a f ( x ) g ( x )   = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Sendo f ' ( x ) e g ' ( x ) :

f ' ( x )   = e x - 1 - x  

g ' ( x )     = 2 x  

Assim, utilizando os dados do nosso item, temos que:

l i m x → 0 e x - 1   - x   - x ² 2 x ²   = l i m x → 0 e x - 1 - x 2 x    

Observe que encontramos novamente uma indeterminação do tipo 0 0 , como o enunciado da questão já havia mencionado, devemos utilizar a regra novamente até achar uma equação que se possa ser determinada.

l i m x → 0 e x - 1   - x   - x ² 2 x ²   = l i m x → 0 ( e x - 1 - x ) ' ( 2 x ) '   =   l i m x → 0 e x - 1 2 = e 0 - 1 2   = 0    

E aí? Te ajudei? Responde Aí! :)

Resposta

l i m x → 0 e x - 1   - x   - x ² 2 x ²   =   0

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)