Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

UFF, Cálculo 2B, Professor Sérgio Almaraz, P1 2011.2, questão 4.

Considere a função

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

  1. Esboce a superfície de nível S dada por F x , y , z = - 4
  2. Determine a equação do plano tangente a S no ponto P = 1,2 , 3 , na forma a x + b y + c z + d = 0
  3. Considere a função g x , y derivável em 1,2 e satisfazendo g 1,2 = 3 , g x 1,2 = 1 e g y 1,2 = 0 . Determine a equação paramétrica (na forma a 1 t + b 1 , a 2 t + b 2 , a 3 t + b 3 , t R ) da reta tangente À interseção de S com o gráfico de g no ponto P .

Passo 1

a )

A superfície de nível S é

x 2 + y 2 - z 2 = - 4

Então podemos fazer:

z 2 - x 2 - y 2 = 4

Se fizermos x = 0 :

z 2 - y 2 = 4

z 2 4 - y 2 4 = 1

Que é uma hipérbole no plano y z .

Se fizermos y = 0 :

z 2 - x 2 = 4

z 2 4 - x 2 4 = 1

Que também é uma hipérbole, só que no plano x z .

Para interseções com planos z = k , onde k é uma constante, temos:

- x 2 - y 2 = 4 - k ²

x 2 + y 2 = k 2 - 4

x 2 k 2 - 4 + y 2 k 2 - 4 = 1

Ou seja, temos elipses nos planos z = k

Mas, o que está no denominador dessa equação tem que maior que zero, então temos uma restrição para k :

k 2 - 4 > 0

k > 2

k < - 2

Ou seja, para todos os planos z = k , com - 2 < k < 2 , não teremos figura, será um buraco.

Com tudo isso, temos que essa superfície é um Hiperbolóide de duas folhas

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

A superfície S é dada por

x 2 + y 2 - z 2 = 4

A primeira coisa do nosso passo a passo é:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo que é variável para o lado esquerdo da equação:

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

Passo 5

Calcular gradiente de F :

F x , y , z = 2 x , 2 y , - 2 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

P 0 = 1,2 , 3

F P 0 = F 1,2 , 3

F P 0 = 2.1,2.2 , - 2.3

F P 0 = 2,4 , - 6

Passo 7

O vetor normal será n = F P 0 :

n = 2,4 , - 6

Passo 8

Equação do plano:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 n = 0

x - 1 , y - 2 , z - 3 2,4 , - 6 = 0

2 x + 4 y - 6 z = 1 2 + 4 2 + 3 - 6

2 x + 4 y - 6 z = 2 + 8 - 18 = - 8

Nosso plano tangente é, então:

2 x + 4 y - 6 z = - 8

Passo 9

c )

A reta tangente a curva de interseção das duas superfícies tem seu vetor diretor perpendicular simultaneamente aos vetores normais a S 1 e S 2 .

Esses vetores normais são os vetores gradientes.

Da superfície S 1 a gente já achou:

F 1 1,2 , 3 = n 1 = 2,4 , - 6

Passo 10

Agora para a superfície S 2 .

S 2 é o gráfico da função z = g ( x , y ) .

Para calcular o vetor normal a essa superfície no ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , g ( x 0 , y 0 ) , vamos primeiro jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar o lado direito igual a zero:

g x , y - z = 0

Passo 11

Agora vamos chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = g x , y - z

Passo 12

Calcular gradiente de F :

F x , y , z = F x , F y , F z = g x , g y , - 1

Passo 13

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

P 0 = ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )

P 0 = ( 1,2 , g 1,2 )

F P 0 = F 1,2 , 3

F 1,2 , 3 = g x ( 1,2 ) , g y ( 1,2 ) , - 1

F 1,2 , 3 = ( 1,0 , - 1 )

Pois esses valores a questão já deu pra gente, certo?

Então, o vetor normal a superfície S 2 é:

F 2 1,2 , 3 = n 2 = ( 1,0 , - 1 )

Passo 14

O vetor diretor da nossa reta tangente será o produto vetorial entre esses dois vetores, pois ele precisa ser perpendicular a eles dois, ao mesmo tempo.

n 1 = 2,4 , - 6

n 2 = ( 1,0 , - 1 )

v = n 1 × n 2

v = i j k 2 4 - 6 1 0 - 1 = - 4   i - 6   j + 0   k - 4   k + 0   i + 2   j = ( - 4 , - 4 , - 4 )

Passo 15

Assim, nossa reta tangente está na direção do vetor

v = ( - 4 , - 4 , - 4 )

E passa pelo ponto

P 0 = 1,2 , 3

Então, ela pode ser parametrizada por:

r t = P 0 + v t

r t = 1,2 , 3 + ( - 4 , - 4 , - 4 ) t

r t = ( 1 - 4 t , 2 - 4 t , 3 - 4 t )

Resposta

  1. Superfície
  2. Plano: 2 x + 4 y - 6 z + 8 = 0
  3. r t = ( 1 - 4 t , 2 - 4 t , 3 - 4 t )

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