Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

UFRJ, Cálculo 2, P2 2016.1, questão 9

Seja C a curva dada pela interseção das duas superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 2 e z = x 2 - y 2 . Qual dos seguintes vetores é tangente a C no ponto 1 , - 1,0 ?

a 2,2 , 1 ;

b 1 , - 1,0 ;

c 1,1 , 0 ;

d 1,1 , 4 ;

e 1,0 , - 1 .

Passo 1

Para achar a reta tangente a curva de interseção, devemos achar um vetor v → tangente a essa curva. E como a gente faz para achar esse vetor v → ?

Basicamente a gente calcula o gradiente das duas superfícies no ponto dado e fazemos o produto vetorial deles e bingo!!! Encontramos o vetor tangente a C .

Então vamos começar calculando os gradientes. Temos:

F 1 x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 2

∇ F 1 x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

∇ F 1 1 , - 1,0 = 2 , - 2,0

n 1 → = 2 , - 2,0

Temos também:

F 2 x , y , z = x 2 - y 2 - z

∇ F 2 x , y , z = 2 x , - 2 y , - 1

∇ F 2 1 , - 1,0 = 2,2 , - 1

n 2 → = 2,2 , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer o produto vetorial:

v → = n 1 →   x   n 2 →

v → = i ^ j ^ k ^ 2 - 2 0 2 2 - 1 = 2 i ^ + 2 j ^ + 8 k ^ = 2,2 , 8

Portanto qualquer múltiplo do vetor v → = 2,2 , 8 também é um vetor tangente a C no ponto 1 , - 1,0 . O único vetor múltiplo nas opções é o 1,1 , 4 .

Resposta

Letra d

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