Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Ver Teoria

Enunciado

24 Seja f x , y = 2 x + 3 y 2 .

(c) Determine o plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma função f x , y = 2 x + 3 y 2 e nosso objetivo é obter o plano tangente a f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para obter o plano tangente a uma função, podemos aplicar uma fórmula dada por

z = f a , b + f x a , b x - a + f y a , b y - b

Ou seja, temos que calcular as derivadas parciais de f e aplicar o ponto a , b , no caso 2 , - 1 .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos obter as derivadas parciais de f .

f x = ∂ 2 x + 3 y 2 ∂ x = 2

f y = ∂ 2 x + 3 y 2 ∂ y = 6 y

Aplicando o ponto 2 , - 1 e as derivadas parciais de f em z

z = f a , b + f x a , b x - a + f y a , b y - b

z = 2 2 + 3 1 2 + 2 x - 2 + 6 1 y - 1

z = 0 + 3 + 2 x - 2 + 6 y - 1

z = 3 + 2 x - 4 + 6 y - 6

Organizando...

z = 2 x + 6 y - 7

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

z = 2 x + 6 y - 7

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Mostre que a reta tangente encontrada no item b ) é tangente à superficie de equação x y z - x 2 - 6
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em ( 1,1 , 1 ) .
Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado S u p e r f i c i s : x + y 2 + z = 2 y = 1 Ponto: ( 1 / 2 , 1,1 /