Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

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Enunciado

Encontre uma equação para o plano que seja tangente a à superfície z = l n l n   x 2 + y 2   no ponto P 1,0 , 0 .

Passo 1

Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Ta tudo joinha por ai?

Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha de função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de planos tangentes e como consequência vamos arrastar também os vetores gradientes.

Sinto te falar, ou não, que pelo menos uma questão desta mesma forma deve cair na sua prova. Sendo assim, vamos tentar explicar de forma mais clara possível, belezinha?

Aqui não tem muita teoria não, na realidade precisamos apenas de dois conceitos de função de várias variáveis. A primeira é que temos que dado um plano tangente em alguma superfície f , o cálculo diferencial nos mostra que o vetor normal desse plano é calculado da seguinte forma:

n → = ∇ f   c a l c u l a d o   n o   p o n t o .

E uma vez que tenho o vetor normal, da geometria analítica temos que:

P a r a   c o n s t r u ç ã o   d e   u m   p l a n o ,   p r e c i s o   d e   1   v e t o r   n o r m a l   e   1   p o n t o   q u e   e s t e j a   c o n t i d o   n o   p l a n o .

Sendo d ∈ plano π , temos que podemos construir o plano π da seguinte forma:

n → ∙ d = ∇ f x 0 , y 0 , z 0 ∙   x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Agora que já sabemos o que vamos utilizar, vamos colocar a mão na massa?

VAMOS LÁÁÁ

Passo 2

Para resolver, vamos precisar primeiramente da função:

z = l n l n   x 2 + y 2  

Para calcular o plano dentro do espaço vamos fazer o seguinte:

f x , y , z = l n l n   x 2 + y 2   - z = 0

Calculando o gradiente temos que:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ( ∂ x 2 + y 2   - z ) ∂ x , ∂ x 2 + y 2   - z ) ∂ y , ∂ x 2 + y 2   - z ) ∂ z )

Aplicando as técnicas de derivação temos que o vetor gradiente é dado por:

∇ f = ( 2 x x 2 + y 2 , 2 y x 2 + y 2 , - 1 )

Aplicando o vetor gradiente no ponto: P ( 1,0 , 0 ) temos que:

∇ f = ( 1,0 , - 1 )

Sendo assim, o vetor normal do nosso plano é dado por:

n → = ∇ f = ( 1,0 , - 1 )

Passo 3

Agora que temos o vetor normal e o ponto só precisamos aplicar na equação do plano tangente que é dado por:

n → ∙ d = ∇ f x 0 , y 0 , z 0 ∙   x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Substituindo os valores temos que:

n → ∙ d = 1,0 , - 1 ∙ x - 1 , y , z = 0

Gerando o seguinte plano:

x - z - 1 = 0

Resposta

x - z - 1 = 0

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