Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Interseção de Superfícies, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Seja γ uma curva cuja imagem é o conjunto C = x , y , z ∈ R 3 : x 2 - y 2 + 2 z 2 = 1   e   x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

a) Dê a equação da reta tangente a γ no ponto 0,1 , - 1 .

b) Determine os pontos de C para os quais a reta tangente a γ é paralela ao plano O x y .

Passo 1

a) Para essa questão, temos uma curva γ que é a interseção de duas superfícies, h x , y , z = x 2 - y 2 + 2 z 2 - 1   e g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 2 .

Num primeiro momento você pode pensar em encontrar a equação dessa curva, parametrizá-la e derivá-la para encontrar o vetor tangente, né?

Mas a dica para resolver de uma forma muito mais direta é pensar que, para a reta ser tangente à curva de interseção, ela precisa ser tangente tanto a uma superfície como a outra. Isso implica que ela deve ser perpendicular ao vetor gradiente de ambas as superfícies no ponto de tangência!

Sendo assim, o vetor diretor da reta tangente à curva pode ser obtido fazendo o produto vetorial dos vetores gradientes das superfícies no ponto 0,1 , - 1 ! Show?

v → = ∇ h   ×   ∇ g

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Passo 2

Assim sendo, vamos encontrar esses vetores gradientes!

Para a função h , temos:

h x , y , z = x 2 - y 2 + 2 z 2 - 1

h x = 2 x

h y = - 2 y

h z = 4 z

E o vetor gradiente é:

∇ h x , y , z = 2 x , - 2 y , 4 z

Para a função g , temos:

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 2

g x = 2 x

g y = 2 y

g z = 2 z

E o vetor gradiente é:

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Show?

Passo 3

Com os gradientes nas mãos, podemos fazer o produto vetorial!

Ele é:

i ^ j ^ k ^ 2 x - 2 y 4 z 2 x 2 y 2 z = i ^ - 2 y . 2 z + j ^ 2 x . 4 z + k ^ 2 x . 2 y - k ^ 2 x . - 2 y - i ^ 2 y . 4 z - j ^ 2 x . 2 z

i ^ j ^ k ^ 2 - 2 - 4 0 2 - 2 = - 4 y z - 8 y z , 8 x z - 4 x z , 4 x y + 4 x y = - 12 y z , 4 x z , 8 x y

Esse vetor, no ponto 0,1 , - 1 vale:

v → = - 12.1 . - 1,4.0 . - 1,8.0 . 1 = 12,0 , 0

Ok, aí está o vetor diretor da reta!

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor e o ponto de tangência, só colocar na equação da reta!

r t = 0,1 , - 1 + t 12,0 , 0

E é isso! Letra a fechada :D

Passo 5

b) Para a reta encontrada ser paralela ao plano O x y , temos que ver quando o vetor diretor da reta tangente, já calculado e dado por:

v → = - 12 y z , 4 x z , 8 x y

Tem componente z = 0 , ou seja,

8 x y = 0

Isso acontece quando x = 0 ou y = 0 , certo? Agora que sabemos que temos que ter esses valores para x e y , temos que ver quais pontos teremos na curva, ou seja, quais pontos pertencem à ambas as superfícies que definem essa curva!

Passo 6

Como o ponto deve pertencer a ambas as superfícies, temos que resolver o sistema:

x 2 - y 2 + 2 z 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 2

O qual sabemos que a solução envolve x = 0 ou y = 0 , do passo anterior.

Supondo x = 0 , teremos:

- y 2 + 2 z 2 = 1 y 2 + z 2 = 2

Somando as duas equações, teremos:

3 z 2 = 3

z = ± 1

Jogando esse resultado na segunda equação do sistema, teremos:

y 2 + ± 1 2 = 2

y = ± 1

Juntando esses resultados para y e z com x = 0 , teremos:

P 0 = 0,1 , 1 P 1 = 0,1 , - 1 P 2 = 0 , - 1 , - 1 P 3 = 0 , - 1,1

E esses são os quatro pontos que têm reta tangente paralela a O x y quando tomamos x = 0 :D

Passo 7

Agora temos que testar y = 0 e ver quais são os outros pontos!

Colocando esse valor de y no sistema, teremos:

x 2 - 0 2 + 2 z 2 = 1 x 2 + 0 2 + z 2 = 2

Subtraindo a de baixo da de cima, teremos:

z 2 = - 1

Mas isso é impossível! Então, vemos que y = 0 na verdade não é uma possibilidade de solução. Ficamos então com aqueles quatro ponto que descobrimos :D

Resposta

a) r t = 0,1 , - 1 + t 12,0 , 0

b) São os seguintes pontos: P 0 = 0,1 , 1 P 1 = 0,1 , - 1 P 2 = 0 , - 1 , - 1 P 3 = 0 , - 1,1

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