Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

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Enunciado

Considere as superfícies do paraboloide S f : f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z = 3 , o plano S g : g x ,   y ,   z = x + 2 y - 3 z = 6 e o ponto P 0 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) .

b) A reta tangente a curva dada pela interseção dada pela interseção do paraboloide com o plano, S f ∩ S g , no ponto P 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar a reta tangente a curva dada pela interseção dada pela interseção do paraboloide com o plano no ponto P 0 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) .

Agora, pensa comigo, se a reta é tangente a interseção das duas superfícies, significa que ela tá no plano tangente a superfície S f e também tá no plano tangente à superfície S g . Pra que isso aconteça, essa reta precisa ser perpendicular a reta normal em cada plano. Se ela é perpendicular as duas retas normais ao mesmo tempo, então ela é paralela ao produto vetorial de n → 1 × n → 2 (porque esse produto gera uma reta perpendicular). Beleza?

Então, o que nós vamos fazer é calcular as retas normais n → 1 = ( a 1 ,   b 1 ,   c 1 ) e n → 2 = ( a 2 ,   b 2 ,   c 2 ) usando o gradiente das duas superfícies, na relação n → = ∇ f ( P 0 ) .

Lembrando que esse gradiente no ponto P 0 é dado por:

∇ f ( x ,   y ,   z ) = d f d x , d f d y , d f d z

Em seguida, nós calculamos o produto vetorial desses dois vetores fazendo:

n → 1 × n → 2 = i j k a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente para determinar nosso vetor normal à superfície f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z :

∇ f x ,   y ,   z = d d x x 2 + y 2 - z , d d y x 2 + y 2 - z , d d z x 2 + y 2 - z

Calculando essas derivadas:

∇ f x ,   y ,   z = ( 2 x ,   2 y ,   - 1 )

Agora vamos substituir as coordenadas de P 0 = 1 ,   1 ,   - 1 para obter:

n 1 → = ∇ f P 0 = ( 2 ∙ 1 ,   2 ∙ 1 ,   - 1 )

n 1 → = ∇ f P 0 = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

E encontramos nosso primeiro vetor normal.

Calculando agora o gradiente do plano g x ,   y ,   z = x + 2 y - 3 z , temos:

∇ f x ,   y ,   z = d d x x + 2 y - 3 z , d d y x + 2 y - 3 z , d d z x + 2 y - 3 z

Calculando essas derivadas:

∇ f x ,   y ,   z = ( 1 ,   2 ,   - 3 )

E no ponto P 0 = 1 ,   1 ,   - 1 ele permanece o mesmo, então:

n 2 → = ∇ f P 0 = ( 1 ,   2 ,   - 3 )

Passo 3

Agora vamos calcular nosso produto vetorial:

n → 1 × n → 2 = i j k 2 2 - 1 1 2 - 3

Calculando esse determinante, temos:

n → 1 × n → 2 = - 4 i + 5 j + 2 k

n → 1 × n → 2 = ( - 4 ,   5 ,   2 )

Essa é a direção da nossa reta tangente. No ponto P 0 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) , temos:

t - 4 ,   5 ,   2 + ( 1 ,   1 ,   - 1 )

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

t - 4 ,   5 ,   2 + ( 1 ,   1 ,   - 1 )

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Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
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Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Mostre que a reta tangente encontrada no item b ) é tangente à superficie de equação x y z - x 2 - 6
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Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado S u p e r f i c i s : x + y 2 + z = 2 y = 1 Ponto: ( 1 / 2 , 1,1 /