Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Plano Tangente e Reta Normal

Encontre uma equação paramétrica para a reta tangente à curva de interseção das superfícies

x 2 + 2 y + 2 z = 4       e       y = 1

no ponto 1,1 , 1 2 .

(a) x = 1 - 2 t ,   y = 1 ,   z = 1 2 + 2 t

(b) x = 1 ,     y = 1 ,     z = 1 2 + 2 t

(c) x = - 2 t ,     y = 0 ,     z = 2 t

(d) x = 1 - 2 t ,     y = 1 ,     z = 1 2 - 2 t

(e) Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

Para questões desse tipo basta seguir o passo a passo!

Primeiro vamos pegar as equações das superfícies e jogar tudo pra esquerda, deixando zero do lado direito:

x 2 + 2 y + 2 z - 4 = 0

y - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora chamamos os lados esquerdos das equações de f e g :

f x , y , z = x 2 + 2 y + 2 z - 4

g x , y , z = y - 1

Passo 3

Beleza, agora temos que calcular os gradientes das funções:

∇ f x , y , z = ( 2 x ,   2 ,   2 )

∇ g x , y , z = ( 0,1 , 0 )

O ponto que nos interessa é o ponto 1,1 , 1 2 , então os gradientes nele são:

∇ f 1,1 , 1 2 = ( 2,2 , 2 )

∇ g 1,1 , 1 2 = 0,1 , 0

Passo 4

E por que fizemos isso? Bem, ele pediu uma equação paramétrica para a reta tangente à curva de interseção das superfícies.

Essa reta, por ser tangente à interseção das superfícies, é tangente às duas superfícies no ponto 1,1 , 1 2 , certo? Então ela é ortogonal aos vetores normais das superfícies nesse ponto!

Deu pra acompanhar? Os vetores normais são normais à curva, então são normais à reta tangente.

E os gradientes ∇ f 1,1 , 1 2 e ∇ g 1,1 , 1 2 são vetores normais às superfícies f x , y , z = 0 e g x , y , z = 0 no ponto 1,1 , 1 2 ! Isso significa que eles são normais à reta tangente que procuramos! :)

Passo 5

Digamos que o vetor ( a , b , c ) é o vetor diretor da reta tangente. Acabamos de ver que essa reta é ortogonal aos 2 gradientes que achamos antes.

E o produto escalar de 2 vetores ortogonais dá zero! Logo:

a , b , c ⋅ ∇ f 1,1 , 1 2 = 0 a , b , c ⋅ ∇ g 1,1 , 1 2 = 0

⇒   a , b , c ⋅ 2,2 , 2 = 0 a , b , c ⋅ 0,1 , 0 = 0

⇒   2 a + b + c = 0 b = 0

⇒ a + 0 + c = 0

⇒ c = - a

Show! Então o vetor diretor da reta tangente é da forma

a , b , c = a , 0 , - a = a 1,0 , - 1 ,     a ∈ R

Ou seja, qualquer vetor múltiplo de ( 1,0 , - 1 ) serve!

Passo 6

Chegamos na reta final! Vamos achar essa equação paramétrica da reta! Já sabemos um ponto onde ela passa, o ponto 1,1 , 1 2 , e o seu vetor diretor 1,0 , - 1 .

Então uma equação paramétrica da reta é

x t , y t , z t = 1,1 , 1 2 + ( 1,0 , - 1 ) t

⇒   x t = 1 + t y t = 1 z t = 1 2 - t

Passo 7

Mas nenhuma alternativa corresponde a essa equação, isso porque a alternativa certa escolheu algum outro múltiplo do vetor diretor 1,0 , - 1 . Basta ver qual alternativa tem um vetor diretor com x = - z e y = 0 .

Olhando a alternativa (a), vemos que ela tem

x t , y t , z t = 1 - 2 t ,   1 , 1 2 + 2 t = 1,1 , 1 2 + - 2,0 , 2 t

⇒ x t ,   y t , z t = 1,1 , 1 2 - 2 1,0 , - 1 t

E nenhuma das outras verifica isso, então essa é a alternativa certa! :)

Resposta

Alternativa (a)

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