Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Um ponto no qual a curva dada pela intersecção das superfícies

x 2 - 2 x y - 2 y + z 2 = 1

E

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Tem direção tangente paralela ao eixo O x é:

  1. ( 0,0 , 1 )
  2. ( - 1,0 , 0 )
  3. ( 1,0 , 0 )
  4. 2 2 , 0 , - 2 2
  5. Inexistente.

Passo 1

O raciocínio que a gente tem que ter aqui é o seguinte: a curva de interseção pertence, simultaneamente, às duas superfícies. Então, seu vetor tangente, ou seja, o vetor na direção da curva de interseção, tem que ser, ao mesmo tempo, perpendicular aos vetores normais às duas superfícies. E esses vetores normais às superfícies são os vetores gradientes.

Assim, nosso vetor é

v → = ∇ F 1 × ∇ F 2

Sendo ∇ F 1 o gradiente da função que define a superfície

x 2 - 2 x y - 2 y + z 2 = 1

E ∇ F 2 o gradiente da função que define a superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Vamos calcular esses gradientes então?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

F 1 = x 2 - 2 x y - 2 y + z 2 - 1

∇ F 1 = 2 x - 2 y , - 2 x - 2,2 z

E

F 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 1

∇ F 2 = 2 x , 2 y , 2 z

Então

v → = ∇ F 1 × ∇ F 2

v → = i j k 2 x - 2 y - 2 x - 2 2 z 2 x 2 y 2 z

= - 4 z x + 1 i + 4 x z j + 4 y x - y k + 4 x x + 1 k - 4 y z   i + 4 z ( x + y )   j

v → = - 4 z x + y + 1 , 4 z x - x + y , 4 y x - y + 4 x x + 1

Passo 3

Para esse vetor ser paralelo ao eixo O x , suas duas ultimas coordenadas devm ser nulas, assim:

4 z x - x + y = 0

E

4 y x - y + 4 x x + 1 = 0

Dai temos

y z = 0

x 2 + x y + x - y 2 = 0

Agora vamos ver qual dos pontos das opções da questão atende esse sistema.

Passo 4

Da primeira equação tiramos que

y = 0

Ou

z = 0

Substituindo y = 0 na segunda equação encontramos

x = 0

E se x = 0 e y = 0 , temos, da equação da segunda superfície,

0 2 + 0 2 + z 2 = 1

z = ± 1

Então temos os pontos

0,0 , 1

( 0,0 , - 1 )

Como não temos nenhuma opção com o ponto com a coordenada z negativa, então só nos resta o ponto

0,0 , 1

Resposta

l e t r a   a

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