Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Plano Tangente e Reta Normal, Reta Tangente e Plano Normal, Interseção de Superfícies

  1. Seja S a superfície de equação 2 x y - 2 y 2 + z 2 + 6 z = 1 . Encontre o plano tangente a S no ponto - 4 , - 1 , - 1 .
  2. Considere a curva C = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 = 1 ,   2 x + 4 y = z 2   e   z < 0 } . Determine e esboce os pontos de C nos quais a reta tangente é paralela ao plano encontrar no item ( a ) .
  3. Encontre uma parametrização para a interseção de S do item ( a ) com o plano x = 3 y .

Passo 1

a)

Essa a gente só precisa jogar na equação do plano! Lembra dela?

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

E que vetor normal é esse? É o vetor gradiente! Então, precisamos apenas calculá-lo e colocar esse equação.

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Passo 2

Para encontrar o vetor gradiente, temos que calcular as derivadas parciais da função. Como é uma polinomial, é bem fácil: só derivar em relação a cada variável tratando as outras como constantes.

2 x y - 2 y 2 + z 2 + 6 z = 1

Logo a função é:

F x , y , z = 2 x y - 2 y 2 + z 2 + 6 z - 1

E suas derivadas são:

F x x , y , z = 2 y

F y x , y , z = 2 x - 4 y

F z x , y , z = 2 z + 6

E o vetor gradiente, que é dado por ∇ F x , y , z = F x , F y , F z fica sendo:

∇ F x , y , z = 2 y , 2 x - 4 y ,   2 z + 6

Passo 3

Agora que temos o vetor gradiente, podemos substituir o ponto do enunciado na equação dele:

Para P = - 4 , - 1 , - 1 teremos:

∇ F - 4 , - 1 , - 1 = 2 . - 1 , 2 . - 4 - 4 . - 1 ,   2 . - 1 + 6

∇ F - 4 , - 1 , - 1 = - 2 , - 4 ,   4 = n →

Pronto! Encontramos o vetor normal à superfície no ponto P = - 4 , - 1 , - 1

Passo 4

Agora, colocamos esse vetor encontrado na equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

x , y , z ⋅ - 2 , - 4 ,   4 = - 4 , - 1 , - 1 ⋅ - 2 , - 4 ,   4

Que, desenvolvendo, fica:

- 2 x - 4 y + 4 z = 8 + 4 - 4

- 2 x - 4 y + 4 z - 8 = 0

- x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Eis aí a equação do plano!!

Passo 5

b)

A curva dada foi C = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 = 1 ,   2 x + 4 y = z 2   e   z < 0 } .

O que essa expressão quer dizer é que a curva C é a interseção das duas superfícies, x 2 + 4 y 2 = 1 e 2 x + 4 y = z 2 , e limitando apenas à parte que se encontra em baixo do plano x y (porque diz que z deve ser menor que 0 ).

Aí você pensa “ahh, então vamos encontrar a equação dessa curva” – Não precisa! Não precisa nem esboçar essas superfícies... Pensa comigo, temos duas superfícies, e elas se interceptam formando uma curva. Isso significa que essa curva está contida tanto em uma superfície como na outra! Apenas com esse fato, podemos concluir que, se os vetores tangente à curva (que darão a direção da reta tangente) são perpendiculares ao vetor gradiente de uma superfície, eles também serão perpendiculares ao vetor gradiente da outra. Ainda não significa nada pra você? Veja, se temos um conjunto de vetores gradientes de uma superfície, e outro conjunto de vetores gradiente da outra superfície, e eles não são múltiplos um do outro, então o produto vetorial dos vetores gradiente resultará num vetor perpendicular tanto a um quando ao outro, ou seja, um vetor tangente à curva de interseção!!

Então bora calcular o vetor gradiente dessas superfícies, e depois fazer o produto vetorial entre eles!

Passo 6

Para a primeira curva, x 2 + 4 y 2 = 1 , temos que:

F x , y = x 2 + 4 y 2 - 1

F x x , y = 2 x

F y x , y = 8 y

F z x , y = 0

∇ F x , y = 2 x , 8 y

Para a segunda curva, 2 x + 4 y = z 2 , temos que:

F x , y , z = 2 x + 4 y - z 2

F x x , y , z = 2

F y x , y , z = 4

F z x , y , z = - 2 z

∇ F x , y , z = 2,4 , - 2 z

Passo 7

Beleza, agora temos que fazer o produto vetorial, usando o determinante da matriz:

i ^ j ^ k ^ 2 x 8 y 0 2 4 - 2 z  

Que vale: - 16 y z i ^ + 8 x k ^ - 16 y k ^ + 4 x z j ^ =   - 16 y z i ^ + 4 x z j ^ + 8 x - 16 y k ^

Passo 8

Beleza, onde chegamos com tudo isso? Chegamos num vetor que é tangente à curva de interseção entre as superfícies! Legal, e como descobrimos os pontos que essa reta tangente é paralela ao plano do item a : - x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ?

É só fazer o produto escalar entre o vetor normal do plano e o vetor que acabamos de encontrar! Se esse vetor é paralelo ao plano, sabemos que ele será perpendicular ao vetor que é perpendicular ao plano. E, como já calculamos, o vetor perpendicular ao plano é   n → = - 2 , - 4 ,   4 = - 1 , - 2 ,   2 . Como o produto escalar entre vetores perpendiculares é 0 , temos:

- 16 y z i ^ + 4 x z j ^ + 8 x - 16 y k ^   .   n → = 0

- 16 y z i ^ + 4 x z j ^ + 8 x - 16 y k ^   .   - 1 , - 2 ,   2 = 0

Desenvolvendo, fica:

16 y z - 8 x z + 16 x - 32 y = 0

4 y z - 2 x z + 4 x - 8 y = 0

Colocando z - 2 em evidência...

z - 2 - 2 x + 4 y = 0

Lembrando que z < 0 , pelas definições do enunciado, então vemos que o primeiro termo z - 2   não pode valer 0 , pois qualquer valor que coloquemos para z , sendo menor que 0 , torna a expressão menor que 0 . Então, o que resta é dizer que - 2 x + 4 y = 0 . Mas como o ponto está sobre a curva, e, por consequência, sobre ambas as superfícies, temos que a equação x 2 + 4 y 2 = 1 (primeira superfície) também deve ser obedecida.

Passo 9

Teremos, então, o seguinte sistema:

- 2 x + 4 y = 0 x 2 + 4 y 2 = 1

Da primeira equação, que x = 2 y . Colocando esse valor na equação de baixo, fica:

x 2 + 4 y 2 = 1

2 y 2 + 4 y 2 = 1

8 y 2 = 1

y = ± 1 8

E, colocando esse valor na primeira equação de novo, teremos:

x 2 + 4 y 2 = 1

x 2 + 4 1 8   = 1

x = ± 1 2

Passo 10

Agora vamos pegar os possíveis valores para x e y que encontramos e vamos substituir na segunda equação de superfície, 2 x + 4 y = z 2 . Veja que, se colocarmos os valores negativos que obtivemos para x e y , então z 2 será um número negativo! Isso seria completamente incoerente... Então, vamos colocar x = 1 2 e y = 1 8 :

2 x + 4 y = z 2

2 1 2   + 4 1 8 = z 2

z 2 = 4 2

Como z deve ser menor que 0 , então teremos que

z = - 4 2

E o ponto no qual a reta é paralela ao plano do item a é:

x , y , z = 1 2 , 1 8 , - 4 2

Passo 11

c)

Vamos agora encontrar a interseção de S = 2 x y - 2 y 2 + z 2 + 6 z - 1 com o plano x = 3 y

Para isso, é só a gente substituir x por 3 y na equação de S !

Teremos:

S = 2 x y - 2 y 2 + z 2 + 6 z - 1

Com x = 3 y fica:

2 . 3 y . y - 2 y 2 + z 2 + 6 z - 1 = 0

4 y 2 + z 2 + 6 z - 1 = 0

Completando o quadrado para o z ...

4 y 2 + z 2 + 6 z ( + 9 - 9 ) - 1 = 0

4 y 2 + z + 3 2 = 10

4 y 2 10 + z + 3 2 10 = 1

4 y 10 2 + z + 3 10 2 = 1

Passo 12

Pronto! Chegamos na equação que será parametrizada! E porque fizemos assim, dividindo por 10 , e depois passando o 4 pro denominador do y ? Exatamente porque tínhamos tanto y como z elevados ao quadrado, e somando um com outro. E se deixarmos 1 do lado direito, poderemos usar sin ⁡ t e cos ⁡ t na parametrização, porque sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 !

Então, chamaremos o primeiro termo de sin ⁡ t e o segundo de cos ⁡ t :

2 y 10 2 + z + 3 10 2 = 1

2 y 10 = sin ⁡ t z + 3 10 = cos ⁡ t

Passo 13

E teremos, isolando y :

2 y 10 = sin ⁡ t

y = 10 sin ⁡ t 2

E isolando z :

z + 3 10 = cos ⁡ t

z = 10 cos ⁡ t - 3

E, finalmente, como x = 3 y , e tendo y = 10 sin ⁡ t 2 ,

x = 3 2 10 sin ⁡ t  

Passo 14

Legal, agora que temos as três variáveis parametrizadas, podemos colocar na notação:

σ t = x t , y t , z t

σ t = 3 2 10 sin ⁡ t   , 10 sin ⁡ t 2 , 10 cos ⁡ t - 3

Resposta

a) - x - 2 y + 2 z - 4 = 0

b) P = 1 2 , 1 8 , - 4 2

c)   σ t = 3 2 10 sin ⁡ t   , 10 sin ⁡ t 2 , 10 cos ⁡ t - 3

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