Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Seja C a interseção das superfícies

z = y 2 - x 2

z = 3 x 2 + 2 y 2 - 1

O vetor tangente a C no ponto P = 1 2 , 0 ,   - 1 4 tem a mesma direção do vetor

  1. v = ( 0,1 , 0 )
  2. v = ( 0,0 , 1 )
  3. v = ( 1,0 , 1 )
  4. v = ( 1,0 , 0 )

Passo 1

O vetor tangente a curva de interseção entre duas superfícies tem que ser um vetor simultaneamente perpendicular aos vetores gradientes das duas superfícies (porque eles são perpendiculares a elas).

Assim, seja

S 1   :   z = y 2 - x 2

S 2   : z = 3 x 2 + 2 y 2 - 1

Então,

F 1 x , y , z = z - y 2 + x 2

F 2 x , y , z = z - 3 x 2 - 2 y 2 + 1

São as funções cujos gráficos são as superfícies S 1 e S 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Os vetores gradientes dessas superfícies são

∇ F 1 = ( 2 x , - 2 y , 1 )

∇ F 2 = ( - 6 x , - 4 y , 1 )

No ponto de tangencia P = 1 2 , 0 ,   - 1 4 :

∇ F 1 = ( 1,0 , 1 )

∇ F 2 = ( - 3,0 , 1 )

E um vetor que é perpendicular a esses dois vetores ao mesmo tempo é o vetor

u = ∇ F 1 × ∇ F 2

Passo 3

Resolvendo esse produto vetorial:

u = i j k 1 0 1 - 3 0 1 = 0   i - 3   j + 0   k - 0   k - 0   i - 1   j

u = ( 0 , - 4,0 )

Ok, mas nas opções não tem esse vetor.

É verdade, não tem esse vetor, mas tem um vetor que é múltiplo desse vetor, que é o vetor

v = ( 0,1 , 0 )

Pois

v = u ∙ - 1 4

E, multiplicar um vetor por um escalar, não altera sua direção, apenas seu módulo.

Resposta

L e t r a   a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas