Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 : x + z - 6 x y + 6 y z = 1

e

S 2 = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x z = 1 .

Considere a curva C que é a intersecção de S 1 e S 2 . Determine um ponto P em C tal que a reta tangente à curva C no ponto P seja paralela à reta

x , y , z = 1 ,   2 ,   3 + λ 5 ,   0 ,   7 ,     λ ∈ R

Dê a equação da reta tangente à curva C no ponto P .

Passo 1

Vamos pegar as equações das superfícies e jogar tudo pra esquerda:

x + z - 6 x y + 6 y z - 1 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x z - 1 = 0

Agora chamamos os lados esquerdos das equações de f   e g :

f x , y , z =   x + z - 6 x y + 6 y z - 1

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 2 x z - 1

Calculamos os gradientes de f e g :

∇ f x , y , z = 1 - 6 y ,   - 6 x + 6 z ,   1 + 6 y

∇ g x , y , z = 2 x - 2 z ,   2 y ,   2 z - 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Digamos que o ponto de tangência P procurado é P = x 0 ,   y 0 ,   z 0 .

Os gradientes ∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 e ∇ g x 0 ,   y 0 ,   z 0 são ortogonais, respectivamente, às superfícies S 1 e S 2 nesse ponto. Então ambos são ortogonais à reta tangente à curva C em P .

E como essa reta tangente é paralela ao vetor 5 ,   0 ,   7 , então os gradientes também são ortogonais a esse vetor. Assim, pelas propriedades do produto escalar:

∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⋅ 5 ,   0 ,   7 = 0

∇ g x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⋅ 5 ,   0 ,   7 = 0

Substituindo os gradientes:

1 - 6 y 0 ,   - 6 x 0 + 6 z 0 ,   1 + 6 y 0 ⋅ 5 ,   0 ,   7 = 0

2 x 0 - 2 z 0 ,   2 y 0 ,   2 z 0 - 2 x 0 ⋅ 5 ,   0 ,   7 = 0

Passo 3

Pela 1ª equação:

5 - 5.6 y 0 + 0 + 7 + 7.6 y 0 = 0

- 30 y 0 + 42 y 0 = - 5 - 7

12 y 0 = - 12

⇒ y 0 = - 1

Passo 4

E pela 2ª equação:

5.2 x 0 - 5.2 z 0 + 0 + 7.2 z 0 - 7.2 x 0 = 0

10 x 0 - 10 z 0 + 14 z 0 - 14 x 0 = 0

- 4 x 0 + 4 z 0 = 0

⇒ x 0 = z 0

Passo 5

Então por enquanto achamos P = x 0 ,   y 0 ,   z 0 = x 0 ,   - 1 ,   x 0 .

Ainda podemos usar o fato que o ponto P pertence às superfícies:

P ∈ S 1 ⇔ x 0 + z 0 - 6 x 0 y 0 + 6 y 0 z 0 = 1

x 0 + x 0 + 6 x 0 - 6 x 0 = 1

2 x 0 = 1

⇒ x 0 = 1 2

⇒ z 0 = 1 2

Show! As coordenadas do ponto de tangência P são 1 2 ,   - 1 , 1 2 . Então uma equação para a reta tangente à C no ponto P é

1 2 ,   - 1 , 1 2 + λ 5 ,   0 ,   7 ,     λ ∈ R

Resposta

P = 1 2 ,   - 1 , 1 2

1 2 ,   - 1 , 1 2 + λ 5 ,   0 ,   7 ,     λ ∈ R

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