Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Ver Teoria

Enunciado

Seja C a a curva de interseção entre as superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 3 e x 2 + y 2 = 2 z . Encontre uma parametrização para C . Encontre a reta tangente a C no ponto P 1,1 , 1

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

O problema nos pede para calcularmos dois passos: Dada uma curva formada por duas superfícies, achar a parametrização da curva, e além disso achar a reta tangente que tangencia essa curva. “Isso parece difícil, né?! Como fazer?”

Para a parametrização:

A parametrização de uma curva, que geralmente é bidimensional, tridimensional, ou n-dimensional é deixá-la somente em dependência de uma variável, por exemplo:

f x , y , z = f x t , y t ,   z t                     a ≤ t < b

Agora veja que todas as componentes dependem de somente uma variável, que é t . Quando isso é feito, chamamos que a função f x , y , z está parametrizada. Por exemplo, a superfície que é nos dada é:

E a curva de parametrização que vamos calcular é:

De forma que essa parametrização depende só de uma variável.

E para a reta tangente a curva:

A reta que tangencia a curva é dada pelo ponto somado à equação da curva no ponto, isto é:

P + t C ' t 0

Onde t 0 é o ângulo t formado no ponto P e C ' é a derivada da parametrização.

Isso tudo parece confuso, mas fica mais fácil explicando... Cola junto!

Então já temos toda a ferramenta que vamos precisar. Vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Então para a parametrização:

Temos as duas superfícies:

C = x 2 + y 2 + z 2 = 3   ,   x 2 + y 2 = 2 z  

Vamos igualar as duas equações e ver qual coordenada achamos? Podemos substituir x 2 + y 2 = 2 z na primeira equação e temos:

2 z + z 2 = 3

Então temos z , vamos achar a raiz então dessa função

z 2 + 2 z - 3 = 0

Aplicando Bhaskara:

z = - 2 ± 4 + 4 * 3 2

Obtemos que:

z = 1 ,   s e   p o s i t i v o ,   - 3 ,   s e   n e g a t i v o  

Pelo gráfico sabemos que z ≥ 0 , logo z = 1 .

Agora das outras equações temos que achar as parametrizações de x e y , temos então:

x 2 + y 2 = 2 z

Mas z = 1 , logo:

x 2 + y 2 = 2

Podemos dividir ambos os lados por 2 e:

x 2 2 + y 2 2 = 1

Dessa equação podemos tirar uma identidade trigonométrica que é s e n ² ( t ) + c o s ² ( t )   = 1 , né? Saca só, se fizermos x 2 = c o s c o s   t   e y 2 = s i n s i n   t   obteremos a parametrização completa, certo?

Geralmente as parametrizações são totais e levam, portanto, t ∈ 0,2 π

Resumindo:

C = x , y , z : 2 c o s c o s   t   , 2 s i n s i n   t   , 1               0 ≤ t ≤ 2 π

E agora que achamos a parametrização, vamos achar a reta tangente a esta curva no ponto P 1,1 , 1 ? Primeiro vamos achar o ângulo t 0 formado.

Passo 3

Temos a curva C

x , y , z = 2 c o s c o s   t   , 2 s i n s i n   t   , 1

No ponto P ( 1,1 , 1 ) temos por exemplo que x = 1 , ou mesmo y = 1 . Assim:

x = 1 = 2 c o s c o s   t   0

De forma que:

t 0 = a r c c o s a r c c o s   1 2   → t 0 = π 4

Agora que achamos o ângulo inicial formado pela parametrização e o ponto P , vamos achar a a derivada da parametrização e t 0 nela?

Passo 4

Temos a curva C :

C ( t ) = x , y , z = 2 c o s c o s   t   , 2 s i n s i n   t   , 1

Derivando em t :

C ' t = - 2 s i n s i n   t   , 2 c o s c o s   t   , 0

Agora aplicando t = t 0

C ' t 0 = - 2 s i n s i n   π 4   , 2 c o s c o s   π 4   , 0

Obtemos então:

C ' t 0 = π 4 = - 2,2 , 0

Logo a nossa reta tangente é:

P + t C ' t 0 → P 1,1 , 1 + t - 2,2 , 0

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

A parametrização:

C = x , y , z : 2 c o s c o s   t   , 2 s i n s i n   t   , 1               0 ≤ t ≤ 2 π

E a nossa reta tangente é:

P 1,1 , 1 + t - 2,2 , 0

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Mostre que a reta tangente encontrada no item b ) é tangente à superficie de equação x y z - x 2 - 6
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em ( 1,1 , 1 ) .
Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado S u p e r f i c i s : x + y 2 + z = 2 y = 1 Ponto: ( 1 / 2 , 1,1 /